综上所述，要拼成 4×7 的长方形，最多能用上 6 种图形。 4. 证明：本题的实质就是不定方程 21a 1000k 241有无穷多组自然数解。 事实上， 这类方程我们只需要找到一个特殊解就可以找到无穷多组整数解。按照 ，即 mod 21 来找特殊解，得到 0 13k 10(mod 21) ，于是 0 13k 10 21 21(mod 21) ，因为 (13, 21) 1 ，所以 0 k 4(mod 21) ，于是取 k 21t 17 即可， 0 13(k 4)(mod 21) 此时 a (21000t 17241) 21 1000t 821 ，其中 t 为自然数即可。综上所述，存在无
第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动六年级决赛答案
第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动 六年级决赛答案
一、填空题： 1. 答案： 146 解答：考察对带余除法的理解， a bq r 0 r b ，所以除数最小为 7 ，被除 数最小为 20 7 6 146 。 2. 答案： 9 a 12 解答：由题意知 3 3. 答案： 45 解答： ax 1 2 x b 3 a 2b x b 3 0 ，要使得其有无数个解，则
A
Ⅰ
D E
Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
B F
Ⅱ
Ⅲ
G C
5/5
1 3
1 3
1 3
1 1 2 ) 26 (分钟)。 18 72
2. 证明：令 1
1 1 1 1 1 1 1 1 A， B ，则 2 3 2n 1 2n 2 4 6 2n
原式左边 A 1 B B A 2 A AB AB 2B A 2B ，而


B D F G O H E
5. 答案： 666...668
2010
C
A
解答：显然 a, b 越接近，则 a b 越小， 111...111555...555 333...333 333...335 ，那么
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穷多个自然数 a 符合要求。 5. 解：有很多剪法。下面举出两种方法： 连接 AB、AC 两边上的中点 D 与 E，作△ADE 的高 AF，把△ABC 分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ， 然后按下图拼接。
A D
ⅠⅡ
F
E
Ⅲ
B C
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
取 AB 的中点 D，AC 的中点 E，分别作垂线 DF，EG 将△ABC 分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，然 后按下图拼接。
1 x
1 b ，原式可以变形为： x y
所以 x
1 1 1 1 ，y 。 18 18 24 72
所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为： 18 24 ( 钟)。
1 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 3
1 3
1 3
1 1 2 ) 26 (分 18 72
解法 2：设单开进水管注满水箱的 所需进水时间为 x 分钟，同时开一个进水管 与一个出水孔注满水箱的 所需的进水时间为 y 分钟。 则
a 2b 0 a 6 。 b 3 0 b 3
1 25 9 4 1 1 1 S圆 SCDGH r 2 CD 2 25 9 。 4 4 4 3 a 2 9 a 12 。 3
4. 答案：
解答：补成一个规则图形，则 S
得证。 3. 答案：6 种 解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用 1 种图形是可以的，例如用 7 个（7） ； 用 2 种图形也没问题，例如用 1 个（7） ，6 个（1） 。经试验，用 6 种图形也可以 拼成 4×7 的长方形（见图 1） 。
能否将 7 种图形都用上呢？7 个图形共有 4×7=28（个）小方格，从小方格的数 量看，如果每种图形用 1 个，那么有可能拼成 4×7 的长方形。但事实上却拼不 成。为了说明，我们将 4×7 的长方形黑、白相间染色（图 2） ，则黑、白格各有 14 个。在 7 种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各 2 个，共覆 盖黑、白格各 12 个，还剩下黑、白格各 2 个。第（2）种图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格，因此不可能覆盖住另 6 种图形覆盖后剩下的 2 个 黑格 2 个白格。
1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 B 1 2 2n 1 2n 2n 2 3 2 4 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 1 2n 2 3 n 2 3 1 1 1 n 1 n 2 2n
1 ； 18 1 1 1 1 ，则一个出水管的出水速度为 。 24 18 24 72
再假设右图三格全白——即同开进水管与一个出水管注满水箱，时间为
2 2 2 2 4 分钟，则其进水速度为
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所以， 同时打开两排水管的进水时间为： 18 24 (
解答：因为 x1 x2 x3 x2 x3 x4 ，所以 x1 x3 , x2 x4 , 如此下去发现，
x1 x3 x5 x2011 , x2 x4 x6… x2010 ， 令 x1 a, x2 b ， 从 而 得到 方 程 组 ：
a b 1 ，解之得 1006a 1005b 2011
那么总共需要 6 8 12 26 (分钟)。 解法 3：图示法．
20 22
如图所示，阴影部分表示单开进水管，空白部分表示同开进水管与一个出水管， 比较两图，可以看出两图中上、下两格的时间完全相同。 则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了 22 20 2 （分钟） 。 所以，假设左图三格全黑——即单开进水管注满水箱，时间为 20 2 18 分钟，即 进水管的进水速度为
x1 x3 x5 x2011 1006, x2 x4 x6 x2010 1005
7. 答案： 720 ，360 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 720 。 解答： 1001 7 11 13 77 91 143 1001 由于每一对和为 1，故它们的和是 360。 8. 答案： 20009 解答：设 a 20002000 , b 20012001 ,则一方面 2000a 2001b 2001a 2001b A 10 10 20010 ， ab ab a 10a ) 10 20010 20010 1 20009 。 另一方面 A (2001 ab a b 9. 答案： 338350 解答：首先判断出在 x 0 的时候取到最小值， 1 其次利用公式 12 22 n 2 n n 1 2n 1 ， 6 1 所以最小值为 12 22 1002 100 101 201 338350 。 6 10. 答案： 60060 解答：若 2 号同学不对，那么 4 号同学就是不对的，他们不是连续的两位。同理 3、4、5、6、7 号同学都对。 由于 2 号同学和 5 号同学都对， 所以 10 号同学对。 同理 12、 14、 15 号同学都对。 于是只有 8、9、11、13 号同学可能不对。由于是连续两个同学不对，故不对的 是 8、9 号同学，于是 2,3, 4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 60060 。 二、动手动脑题： 1. 答案： 26 分钟 解法 1：方程法。设进水速度为 x ，出水速度为 y ，立方体水箱的容积为 1。则
y 8。
1 3
2 x y 20 ， 解得： x 6， x 2 y 22
以水箱的 看作“1” ，则进水速度为 ，出水速度为 所以灌满水箱最上层的 需要 1
1 3
1 6 1 2 12 分钟。 24
1 3
1 6
1 6
1 8
1 ， 24
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1 2 x ( x y ) 20 3 3 1 2 x ( x y ) 22 3 3
解此类方程，可采用换元法。设 a ，
1 2 a b 20 a 18 3 3 ，解得： 。 b 24 1 a 2 b 22 3 3
2011 2011 2011 2010
(a b)min 666...668
2010
6. 答案：
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x1 x3 x5… x2011 1006, x2 x4 x6 x2010 1005