克莱因（18491925-），德国数学家、数学史家和数学教育家，克莱因在1872年就提出应把拓扑学发展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在20世纪获得了飞跃的发展，并成为现代数学的核心．他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作为19世纪的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪． 17．实数人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张． 理解无理数是学好实数的关键，为此应注意：1．把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数qp的形式（这里p 、q 是互质的整数，且0p ≠）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等； 3．澄清一些模糊认识； 4．明确无理数的真实性． 问题解决例1 已知实数x 、y 满足50x -，则代数式()2006x y +的值为________．试一试运用非负数性质，求出x ，值． 例2下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数； ②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数． 其中，正确的结论有（）个．A ．0B ．1C ．2D ．3 试一试看是否能构造出符合要求的数．例3 若实数a 、b 、c ，试确定c 的值．试一试观察发现()199a b -+、()199a b --互为相反数，由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口． 例4设x 、y 都是有理数，且满足方程1π1π4π02332x y ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求x y -的值．试一试将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值．例5设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，…，()221111n S n n =+++． 的值（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．解法一：311111222⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，7111116623⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，1311111121234⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 1111n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭．∴原式111111111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭212111n nn n n +=+-=++．解法二：()()()()2221111111212111111n S n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+-+⨯=++⨯=+⎢⎥⎢⎥ ⎪+++++⎝⎭⎣⎦⎣⎦∵，()1111111n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，∴原式211111111211111122334111n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 本质追寻：设实数x ，y ，z 满足0xyz ≠，且0x y z ++=111x y z=++或111x y x y =+-+．n 为正整数）． 公元前5世纪，古希腊人点燃的无理数的火种，照亮了实数的广阔天地，但人类很久不能分享这甘美的“人类智慧之果”．直到19世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯·戴德金、康托的杰出贡献，为无理数、实数理论的建立打下坚实的基础．例6 （11122+++（2）纸是人们学习工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢？印刷厂工人把一张长方形的标准纸（如图①），对折1次，分为两半，每一张都是原来的12，称为对开（即2开）；对折2次，得224=张，每一张都是原来的14，称为4开；对折3次，得328=张，每一张都是原来的18，称为8开……对折5次，得5232=张，每一张都是原来的132，称为32开．一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件：①它的面积为21m ；②经过若干次对开，所得各种大小不同的长方形形状都相同（即长和宽之比都相等）．这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少呢？（精确到1毫米）用列方程组的方法，设标准纸长为x 米，宽为y 米（如图②），则它的长与宽之比为:x y ，对开后的长与宽之比为1:2y x ．于是，由条件②，得1::2x y y x =，即222x y =．①另一方面，因为x 与y 都大于零，且由条件①可得 1x y ⋅=，所以221x y =．② ①×②，可得222221x x y y ⨯=⨯，即()222x =．所以2 1.414213562373x =代入②，得10.8408964152537y x=≈（米）．由此可见，国际标准纸的长为1189毫米，宽为841毫米，面积为1平方米，长与宽之比为 :1189:8417:5x y =≈我国32开用的标准纸长为1168毫米，宽为850毫米，面积为11688500.993⨯≈（平方米）1=平方米，长与宽之比为1168:8507:5≈．这就是说，我国32开用的标准纸与国际标准纸是相符的．（3数学冲浪 知识技能广场1．已知a 、b为两个连续的整数，且a b ，则a b +=________． 2．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，化简a b +=______．3．已知40a -，则22222a ab a abb+-⋅的值为________． 4对于一般的自然数n ，将有等式_______．5．如图，数轴上表示1A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（）．A 1B ．1C ．2D 26．若x ，y 为实数，且20x +，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）．A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（） A ．1a + B ．21a +C D 1 8()2x y +，则x y -的值为（）．A ．1-B ．1C ．2D ．39．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“+，-，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．10思维方法天地图①2K4K8K16K32K图②1ba11．若2y =，则22x y +=_________．12．若a 、b满足57b =，则3S b =的取值范围是________． 13．已知实数a满足2004a a -，则22004a -=__________． 14．已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．215．设0a b <<，224a b ab +=，则a ba b+-的值为（）．AC ．2D ．316．如果实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：，那么代数式a b b c +++可以化简为（）． A ．2c a - B ．22a b - C ．a -D ．a17．已知实数a、b2ab +，求5a b +的算术平方根． 18．顺思逆想设a ，h 为正实数，由22222h h a a h a a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，当h a 很小（此处约定0.1h a <）时，202h a ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，所以，222h a a h a ⎛⎫+≈+ ⎪⎝⎭()2h a a +※．5100100.0252100+=⨯．试计算3位）． 应用探究乐园19．设x，y为无理数．20的小数部分我们不可能全部地写出来，11，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即23，22．根据以上知识解答下列各题：（1的小数部分为a b ，求5a b ++的值；（2）已知10x y +，其中x 是整数，且01y<<，求x y -的相反数．（3）已知5a ，5-的小数部分为b ，求a b +的值．abc17．实数 问题解决 例1 1例2 D1，1满足结论①、②；53、13满足结论③．例3 由算术平方根定义，得 19901990a b a b -+⎧⎨--⎩≥≥，即199199a b a b +⎧⎨+⎩≥≤， 199a b +=∴，0，由非负数性质， 得3520230a b c a b c +--=⎧⎨+-=⎩，解得201c =．例4 原等式整理，得111141π02332x y x y ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭40231032x yx y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩∴，解得126x y =⎧⎨=-⎩，故18x y -=．数学冲浪1．7 2．2a - 3．168145．C 6．B 7．B 8．C9π与3π，10．原式=333n 个11．6由条件得22054x x -=-，22x =，2y =．12．211453S -≤≤由条件得215S +，19143bS =-0，0b ≥，则21501430S S +⎧⎨-⎩≥≥，解得211453S -≤≤．13．2005由条件得2005a ≥2004，从而220042005a -=． 14．C 由条件得3a ≥，原等式为20b +，1a b +=．15．A a b +=，a b -=16．C175a =，25b =- 18．120.02519x y=-为有理数．=为无理数． 20．（1）原式2356++=（2）原式)11112⎡=--=-⎣（3）原式()()58511=+-=。