第1章 质点运动学 习题及答案1.|r ∆|与r ∆ 有无不同t d d r 和dr dt 有无不同 t d d v 和dv dt有无不同其不同在哪里试举例说明. 解: |r ∆|与r ∆ 不同. |r ∆|表示质点运动位移的大小,而r ∆则表示质点运动时其径向长度的增量;t d d r 和dr dt 不同. t d d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. t d d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动,其位置矢量是否一定方向不变质点位置矢量方向不变,质点是否一定做直线运动解: 质点沿直线运动,其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变,质点一定做直线运动.3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变圆周运动的加速度是否总是指向圆心,为什么 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.4.一物体做直线运动,运动方程为2362x t t =-,式中各量均采用国际单位制,求:(1)第二秒内的平均速度(2)第三秒末的速度;(3)第一秒末的加速度;(4)物体运动的类型。
解: 由于: 232621261212x(t )t t dx v(t )t t dtdv a(t )t dt=-==-==- 所以:(1)第二秒内的平均速度: 1(2)(1)4()21x x v ms --==- (2)第三秒末的速度:21(3)1236318()v ms -=⨯-⨯=-(3)第一秒末的加速度:2(1)121210()a ms -=-⨯=(4)物体运动的类型为变速直线运动。
5.一质点运动方程的表达式为2105(t t t =+r i j ),式中的,t r 分别以m,s 为单位,试求;(1)质点的速度和加速度;(2)质点的轨迹方程。
解: (1)质点的速度: 205dr v ti j dt==+ 质点的加速度: 20dv a i dt == (2)质点的轨迹方程:由210,5x t y t ==联立消去参数t 得质点的轨迹方程:252y x = 6.一人自坐标原点出发,经过20s 向东走了25m ,又用15s 向北走了20m ,再经过10s 向西南方向走了15m ,求:(1)全过程的位移和路程;(2)整个过程的平均速度和平均速率。
解: 取由西向东为x 轴正向, 由南向北为y 轴正向建立坐标系.则人初始时的位置坐标为(0,0), 经过20s 向东走了25m 后的位置坐标为(25,0), 又用15s 向北走了20m 后的位置坐标为(25,20), 再经过10s 向西南方向走了15m后的位置坐标为(2520--于是:(1)全过程的位移和路程: [(25(207.52)]()25201560()r i j m s m∆=-+-∆=++= (2)整个过程的平均速度和平均速率: 5141/[(25(207.52)]/[(2)(2)](/)96964/60/45(/)3v r t i j t i j m s v s t m s =∆∆=-+-∆=-+-=∆∆== 7.一质点在xOy 平面上运动,运动方程为x =3t +5, y =21t 2+3t -4. 式中t 以 s 计,x ,y 以m 计.(1)以时间t 为变量,写出质点位置矢量的表示式,分别求出第一秒和第二秒内质点的位移;(2)求出质点速度矢量的表示式,计算t =4 s 时质点的瞬时速度;(3) 求出质点加速度矢量的表示式,并计算t =0s 到t =4s 内质点的平均加速度。
解: (1) j t t i t r )4321()53(2-+++=(m ) 将0t =,1=t ,2=t 分别代入上式即有054t s r i j ==-(m )180.5t s r i j ==- (m )2114t s r i j ==+(m )第一秒内质点的位移:103 3.5t s t s r r r i j ==∆=-=+(m )第二秒内质点的位移213 4.5t s t s r r r i j ==∆=-=+(m ) (2) d 3(3)m/s d r v i t j t ==++ 437m/s t s v i j ==+(3) 2d 1m/s d v a j t== 240(37)(33)1/404t s t sv v i j i j a jm s ==-+-+===- 8.质点的运动方程为8282(t )cos(t )sin(t )(m )=+r i j ,求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小;(2)质点的切向加速度和运动轨迹。
解: (1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小:122212212122221621623223221632x y x y dr v sin(t )cos(t )(ms )dtd r a cos(t )sin(t )(ms )dt v (v v )(ms )a (a a )(ms )----==-+==--=+==+=i j i j(2)质点的切向加速度: 20()dv a ms dtτ-== 运动轨迹:由 8282x cos(t )y sin(t )==消去t 得2228x y += 9.一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 θ=2+33t ,θ式中以弧度计,t 以秒计,求:(1) t =2 s 时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少 解: (1) t =2 s 时,质点的切向和法向加速度2222222222229181836(9)1296t s t s t s n t s t s t s d t dtd t dta R t ms a R t ms τθωωββω-===-=============(2)当加速度的方向和半径成45°角时的角位移:令 /451n a a tg τ== 得到:329t = 因此 223 6.679Rad θ=+⨯= 故 0 2.6720.67Rad θθθ∆=-=-=10 飞轮半径为0.4 m ,自静止启动,其角加速度为β= rad/2s ,求t =2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解: 1212222222122220.220.4()0.40.40.16()0.40.40.064()0.40.20.08()()0.102()1.25t s t s n t s t s n n t rads v r ms a r ms a r ms a a a ms a tg a τττωβωωβθ-=-=-=-=-==⨯===⨯===⨯===⨯==+===11 一质点沿X 轴运动,其加速度32a t =+,如果初始时刻1053v ms ,t s -==时,则质点的速度大小为多少解:305132(32)23()vdv t dtdv t dt v ms -=+=+=⎰⎰12 在离水面高h 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S 处,如图所示.当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.解: 设人到船之间绳的长度为l ,此时绳与水面成θ角,由图可知222s h l +=将上式对时间t 求导,得 ts s t l l d d 2d d 2= 根据速度的定义,并注意到l ,s 是随t 减少的,∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即 θcos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船 或 sv s h s lv v 02/1220)(+==船 将船v 再对t 求导,即得船的加速度3202220202002)(d d d d d d s v h s v s l s v s lv s v v s t s l t l st v a =+-=+-=-==船船 13.已知一质点作直线运动,其加速度为 a =4+3t 2s m -⋅,开始运动时,x =5 m ,v =0,求该质点在t =10s 时的速度和位置.解:∵ t tv a 34d d +== 分离变量,得 t t v d )34(d +=积分,得 12234c t t v ++= 由题知,0=t ,00=v ,∴01=c 故 2234t t v += 又因为 2234d d t t t x v +== 分离变量, t t t x d )234(d 2+= 积分得 232212c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c故 521232++=t t x 所以s 10=t 时 21102310341010190(m s )21210105705(m)2v x -=⨯+⨯=⋅=⨯+⨯+= 14.一质点沿x 轴运动,其加速度为a ? 4t (SI),已知t ? 0时,质点位于x ??10 m 处,初速度v ??? 0.试求其位置和时间的关系式.解:0021220103442()22210()3vtxt dv t dtdv tdtv t ms dx t dtdx t dt x t m -======+⎰⎰⎰⎰ 15.在一个无风的雨天,一火车以120m s -⋅的速度前进,车内旅客看见玻璃上雨滴的下落方向与竖直方向成75,求雨滴下落的速度(设雨滴做匀速运动)。
解:由题意,牵连速度1020v ms -=,相对速度与竖直方向成75,绝对速度竖直向下.于是: 0075v tg v = 由此得到: 01075 5.36()v v tg ms -==。