f(t)a0[ akco k s t) (bksi(kn t)] (7-1) k 1
其中： 2π/T2πf 是角频率, T是 f ( t )的周期。
a0
1 T
T 0
f (t)dt
a k T 20 Tf( t)ck o ts d 1 t0 2 f( t)ck o t( s d t)
b k T 20 Tf(t)sk itnd 1 t0 2 f(t)sk itn ( d t)
积分区间也可以取（-T/2,T/2）和（,）

f(t)a0[ akco k s t) (bksi(kn t)] (7-1) k 1
将式（7－1）中频率相同的项合并成一项，则可变形为： 在电路分析中，傅里叶级数的另一种形式；

f(t)A0 Akm cok st)( k)
(7-2)
k1
应用相量运算可得：
a0 A0
ak Amkcosk
bk Amksink
Amk ak2 bk2
k

arctg
bk ak
根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解， 分别讨论三种情况：
（1）f(t)函数为奇函数，f(t)=-f(-t)
对于周期性的激励与响应，可以利用傅里叶 级数分解为一系列不同频率的简谐分量,再根 据叠加定理。所以线性电路对非正弦周期性激 励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐分 量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。而 响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相量 法求得。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
f (t)
T
O T/2
t
a0
1 T
T 0
f(t)dt0;
ak
2Tf(t)cok st dt0
T0
bk
2 T
T 0
f(t)sinktdt 2
T
T/2 T/2
f(t)sinktdt
4 T/2f(t)sinktdt
T0
（2）f(t)函数为偶函数，f(t)=f(-t)
同样相位频谱,表示各次谐波的初
相 k 随角频率kω变动的情形。
例7－1
求周期性方波的傅里叶展开式。
A
t O T/2 T
周期性方波
2T
12
a k T0f(t)c o s (kt)d t π0f(t)c o s (kt
b k T 20 Tf(t)s in (kt)d t 1 π0 2 f(t)s in (k
恒定分量（直流分量）
k =1 — 基波； A m 1 — 基波振幅 ， 1 —基波初相
k =2,3称为高次谐波,收敛的，次数越高，振幅越小
2．谐波分析: 将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法；
A1m
A2 m A3m A4 m A5 m A6 m
k
O
2 4 6
振幅频谱
竖线为幅值谱线（振幅频谱）长 度表示Akm的量值；相邻两谱线的 间隔等于基波ω。
1. 非正弦周期电流的产生
1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用
R1
L
US
R2
Um sin t
R
引起的电流或电压便是非正弦周期电流， 解决方法是？
根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生 2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）
A, 当0tT/2 f(t)0, 当T/2tT
b kT 20 T/2A sik nt)d ( tk 2 A T( co k ts )T 0 /2
uS
uS
t
t
O (a)
方波和锯齿波电压
O
(b)
引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
1. 非正弦周期电流的产生
3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。
i
ui
uo

D

ui
R uo O


t
t
O
(a)
(b)
(c)
二极管整流电路及半波整流电压
响应也是非正弦周期量，如何求响应？
(1)函数f ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分
即： t0T f (t ) dt t0
存在；
(2)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值；
(3)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点；
则f(t)可展开为傅里叶级数：

f(t)a0[ akco k s t) (bksi(kn t)] k 1
解：
所给波形在一个周期内的表达式：A, 当0tT/2 f(t)0, 当T/2tT
1 T/2
A
a0
T
0
Adt 2
a kT 20 T/2A co kts)d ( tk 2 A Tsik nt)(T 0 /2
2 A s k i T ) n 2 A ( s k * i 2 n * T ) ( 0 k T 2 k T T 2
这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后 求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。
对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
1．傅里叶级数
周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) 若满足狄里赫利条件
( k = 1, 2, 3, … )
f (t)
t
T /2 O
T/2 T
1 T
a0
T
0
f(t)dt0
ak
4 T
T/2 0
0
f (t)c okstd t
k为偶数 k为奇数
bk
4 T
T/2 0
0
f (t)sinktdt
k为偶数 k为奇数
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式

f(t)A0 Akm cok st)( k) k1
f (t)
T
O T/2
t
a0
1 T
T/2 0
f(t)d;t
bk
2Tf(t)siknt dt0
T0
2T
4T /2
a k T0f(t)ck ots d T t0 f(t)ck ots dt
（3）f(t)函数为奇谐波函数：f(t)=－f(t+T/2)； 即：相隔 半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对 称（镜对称）函数；