t
2
0
E
sin
t
cos
nt
d
t
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
d
t
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an
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
dt
0,
n 2k 1
a1
E
0
sin
2t
dt
0
u(t)
2E
4E
k 1
4k
1
2
cos 1
2k
x
4E
1 2
1 cos 2t 3
1 cos 4t 1 cos 6t
且能展开成三角级数
(1)
求 a0.
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
π
f ( x)dx
π
π a0 dx π 2
π
[
π
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
π a0 dx π 2
π
π ak cos kxdx k 1
π
π bk sin kxdx k 1
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2, )
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2, )
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2, ) (n 1,2, )
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
周期延拓 (T 2) F ( x) f ( x) (,)
端点处收敛于1[ f ( ) f ( )] 2
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
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例3. 将函数
函数在一点的性质 f ( x) an ( x x0 )n
n0
周期函数(整体性质) Fourier级数
三角级数 表达周期函数
(一)三角级数 表达周期函数
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
f (t) A0 An sin(nt n )
n1
谐波分析
A0 ( An sinn cosnt An cosn sin nt)
a0 2, 2
则
a0
1 π
π π
f ( x)dx .
(2) 求 an.
f ( x)cos nxdx a0
cos nxdx
2
(利用正交性)
π
[ak
cos kx cos nxdx bk
sin kxcosnxdx]
k 1
an
cos2 nxdx
an,
则
an
1
f ( x)cos nxdx
f (x) 4 sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x
3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
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f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]
3
5
79
说明:
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
3
5
(7 t , t 0)
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例2 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在上的
2
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
既
1. 设 x0 (π,π ) 是 f (x) 的连续点， 则有
S(x) :
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
f (x) ;
2. 设 x (π, π ) 是 f (x) 的间断点，则有
证:
1
cos
nx
d
x
1
sin
nx d
x
0
cos kx cos nx dx
1 2
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 : sin k x sin nx dx 0 cos k x sin nx dx 0 (k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
展成傅里叶
级数 .
y
解: 将 f (x)延拓成以
2为周期的函数 F(x) ,则
o
x
a0
1
F(x)d x
1
f (x)d x
2
x2 2
0
an
1
F (x) cos nx d x
1
f
(x) cos nx dx
2
x sin nx n
cos nx n2
0
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2
n2
( cos
a0
1
f ( x)dt
1
0
xdt
1
x2 2
0
2
,
an
1
f ( x)cos nxdx
1
0
x cos nx d x
1
x sin n
nx
cos nx n2
0
1 cos n n2
(2k
2 1)2
,
n 2k 1
0,
n 2k
(k 1,2, )
bn
1
f ( x)sin nx d x
S(x) 1 [ f (x 0) f (x 0)] ; 2
3.当x π , π 时， 有 S(x) 1 [ f ( 0) f ( 0)] .
2
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
f
(
x)
1
1
, ,
x 0 0 x
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
y
1
o
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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物理意义
f ( x) 4 [sin x 1 sin 3x 1 sin( 2k 1)x ]
3
2k 1
u ( x ; x 0,π,2π, ).
上的积分不等于 0 . 且有
11dx
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai ,bi是什么？ 2. 展开的条件是什么?
设 f (x) 是周期为2π 的周期函数，
n
1)
4
(2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
1
f (x)sin nx d x
2
cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos
5
x
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物理意义
f
(x)
2
4
n1
1 (2n 1)2
cos( 2n 1)x
(
x
)
y
f (x)
O
4π
2π π
2π
0
f
( x) co sn xdx
.
1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.
1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性 得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.
在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 是分不开的. 1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为 三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展.
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加成方波
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
(n 1,2,3, ).
(3) 求 bn.
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
(利用正交性)
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin kxsin nxdx]
bn,
k 1
则
bn
1
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,3, ).