f
( x)dx
a0 2
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
1
a0
f ( x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
[ak
cos kx cos nxdx
bk
sin kx cos nxdx]
n1
an cos2 nxdx an,
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
sin t, 1 sin 3t, 1 sin 5t, 1 sin 7t,
4
43
45
47
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
(1)找出f(x)的间断点,求出收敛于?
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
在声学、光学、热力学中有非常重要的作用
在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用
物理学中最简单的波__谐波 A sin(t ) A __ 振幅, __ 角频率, __ 初相位.
在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波,三角 波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数.
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
nxdx
0, ,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cos nxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
三、傅里叶级数系数
1.傅里叶系数
若有
f (x)
a0 2
(ak cos kx bk sin kx),
k 1
且右端级数一致收敛于f(x)
(1) 求a0 .
an
1
f
( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
(3) 求bn .
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin
kx
sin
nxdx]
bn,
n1
bn
1
f
( x)sin nxdx
(n 1,2,3,)
傅里叶系数
an
1
问题:
f
(x)
条件 ?
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
四.傅里叶级数的收敛判别法
设 f ( x)在[ , ]上可积和绝对可积，若 f(x)在 x 点的
左右极限都存在，并且两个广义单侧导数：
lim f ( x x) f ( x 0) , lim f ( x x) f ( x 0) 都存在
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
x 0
x
x 0
x
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且
(1) 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当 x是 f ( x)的间断点时, 收敛于 f ( x 0) f ( x 0); 2
注: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
1.把周期函数展为Fourier级数步骤:
0 t t 0
将其展开为傅立叶级数.
an
1
u(t)cos ntdt
0
(n 0,1,2,)
bn
1
u(t)sin ntdt
4Em (2k 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
所求函数的傅氏展开式为
u(t
)
n1
4Em (2n 1)
sin(2n
1)t
( t ; t 0, , 2,)
和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.源自解：bn1
2 x sin nxdx 2
0
n
a0
1
2
xdx 2 ,
0
an
1
2
x cos xdx 0
0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f (t ) A0 An sin(nt n )
n1
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
n1
令
a0 2
A0 ,
an An sin n ,
bn An cos n ,
t x,
a0 2
(an
n1
cos nx
第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换
•第一节函数的傅里叶级数展开
一、傅里叶级数的引进
前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒 建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重 要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能 作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传 导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其 要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可 积，并且它可以整体逼近函数。
bn
sin nx)
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
正交 :
任意两个不同函数在长 度为2（通常取为[ , ] 或[0,2 ])上的积分等于零 .
cos
nxdx
0,
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
3
5
7
( t ,t 0)
一般地，
若有 f ( x) A0 An sin(n x n ) n1 A0 (an cos n x bn sin n x) n1
称右端级数为f ( x)所确定的傅里叶(Fourier)级数
问题：
(1)什么条件下可以把一个周期函数展开为傅里叶级数？
(2)如何展开？