误差分析是直接验证模型计算结果与实 测值的差异， 针对一些零散值而作的， 测值的差异 ， 针对一些零散值而作的 ， 而 灵敏度分析是从另一角度考虑该模型参数 的误差大小对状态变量所引起的计算误差 和对目标函数所引起的误差的一种敏感程 和对目标函数所引起的 误差的一种敏感程 度。
下面仅介绍一下状态变量和参数的 数目都是1时的灵敏度分析 时的灵敏度分析。 数目都是 时的灵敏度分析。 若决策变量（ 污染物排放量等） 若决策变量 （ 污染物排放量等 ） 保 持不变， 则状态变量x和目标 和目标Z均可表示 持不变 ， 则状态变量 和目标 均可表示 为参数θ的函数 的函数： 为参数 的函数： x* = f (θ0) , Z* = f (θ0)
5、网格法 、 假定有n个等定参数， 假定有 个等定参数，且已知各参数 个等定参数 的取值范围， 把各搜索区间（ 取值范围） 的取值范围 ， 把各搜索区间 （ 取值范围 ） 分成若干个等分， 分成若干个等分，则参数空间 θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值， 计算所有网格顶点上的目标函数值 ， 并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。 优估计值。 若精度还不够，则可再分细些。 若精度还不够，则可再分细些。
试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 Kd 常数Ka。 常数Ka。 Ka 解：首先，建立目标函数 首先，
20 k d Z ( k d , k a ) = 10 + ( e − k d (8 / 4 ) − e − k a (8 / 4 ) ) − 8 .5 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 28 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 36 ka − kd 20 k d + 10 + ( e − k d ( 56 ka − kd
2、一元线性回归分析法 亦称最小二乘法 该法有两个假定： 该法有两个假定： ①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 所有自变量的值均不存在误差， 值则含有测量误差； 值则含有测量误差； ②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（ 因变量偏差） 的平方和 直线的竖向偏差 （ 因变量偏差 ） 最小的直线。 最小的直线。
灵敏度分析可以估计模型计算结果的 偏差， 且还有助于建立低灵敏度系统， 偏差 ， 且还有助于建立低灵敏度系统 ， 这种系统在运行上比较可靠） （这种系统在运行上比较可靠），有助于 确定合理的设计裕量 合理的设计裕量， 确定合理的设计裕量，这比盲目给定安全 系数要合理得多。 系数要合理得多。 （希望是低灵敏度高预测精度的模型） 希望是低灵敏度高预测精度的模型） 低灵敏度高预测精度的模型
第三步：计算目标函数对参数的梯度。 第三步：计算目标函数对参数的梯度。
在函数的形式比较复杂， 在函数的形式比较复杂，不易求得梯度 的解析式时，可以计算其数值梯度. 的解析式时，可以计算其数值梯度.
第四步：计算参数修正步长λ 第四步：计算参数修正步长λ
二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海森矩阵 。 （
环境系统分析
第四章 数学模型的参数估计及灵敏度分析 前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划 一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中 三维解析模型在大气质量的预测中普通采用 在流动均匀稳定的条件下， 在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质 在模型具体应用时， 在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。 数进行估值和进行灵敏度的分析。
三、数学模型的灵敏度分析 由于环境系统是一个开放性系统， 由于环境系统是一个开放性系统，各 种影响非常复杂， 很难精确定量， 种影响非常复杂 ， 很难精确定量 ， 各种数 模型存在着不确定性（ 有许多假设） 学 模型存在着不确定性 （ 有许多假设 ） ， 模型中的参数也有误差 因此， 参数也有误差， 模型中的 参数也有误差 ， 因此 ， 利用模型 进行的模拟和规划的真实性， 可靠性究竟 进行的模拟和规划的真实性 ， 可靠性 究竟 如何， 如何对此做出估计， 换言之， 如何 ， 如何对此做出估计 ， 换言之 ， 状态 变量对参数的灵敏度如何 的灵敏度如何， 变量对参数 的灵敏度如何 ， 目标函数对参 的灵敏度如何以及目标函数对状态变量 数 的灵敏度如何以及 目标函数对状态变量 的灵敏度如何，需进行分析。 的灵敏度如何，需进行分析。
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 差均很小。 最佳的b 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 的估计值：（y=mx+b） ：（y=mx+b 由
原理相同） 3、多元线性回归分析 （原理相同）
以二元为例
4、最优化估值方法 函数一般式 ： 建立目标函数： 建立目标函数：
使其最小（ 使其最小（ Z
min） min）。
对一个连续可微的目标函数可采用最速下 降法（一阶梯度法） 降法（一阶梯度法）。
梯度法的步骤如下： 梯度法的步骤如下： 第一步: 第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ 1°,θ 2 °, …θm °, 允许迭代误差为ℇ 允许迭代误差为ℇ. 第二步： 第二步：计算目标函数的初值
目标函数对参数的灵敏度为： 目标函数对参数的灵敏度为：
式中△ 式中△x = x ―x* △z = z―z* ― △ θ = θ ― θ0 当 △ θ 0时，忽略高阶微分项得： 时 忽略高阶微分项得：
例：已知某河段的BOD 降解规律可用下式 已知某河段的 表示： 表示： L = L0 e-Kdt 若已知河段初始的BOD浓度 0 =15mg/l, 若已知河段初始的 浓度L =15mg/l, 浓度 BOD衰减速度常数 假定K BOD衰减速度常数 Kd=0.1 d-1,假定Kd的 变化幅度在±10%,试求t=2d时的BOD值及 试求t=2d时的BOD 变化幅度在±10%,试求t=2d时的BOD值及 其变化幅度。 其变化幅度。 t=2d的BOD浓度为 浓度为： 解：Kd0=0.1d-1时t=2d的BOD浓度为： × L* = L0 e-Kd0t=15 e-0.1× 2=12.28mg/l
验证所用的数据应与参数估值时所用数 据独立， 据独立，以模型的计算结果和实测数据之间 的吻合程度来判断。 的吻合程度来判断。 常用方法： 常用方法： 1、图形表示法 观测值为横坐标，计算值为纵坐标， 观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据 各自变量可得上面相应的两值。 各自变量可得上面相应的两值。 由于环境系统问题的复杂性， 由于环境系统问题的复杂性，对于大系 有的文献认为， 统，有的文献认为，对于观测值和计算值在 倍误差范围内都认为满意。 2倍误差范围内都认为满意。
2、相关系数法 统计学上衡量曲线拟合程度的量。 统计学上衡量曲线拟合程度的量。
y和y'分别为观测值和计算值的平均 y'分别为观测值和计算值的平均 越大相关关系越好（ 值。r越大相关关系越好（0≤ r ≤1）。 1
y=α+βy‘+ε 当 对 y=α+βy +ε 作 回归 分析证 明 α=0 和 β=1 时用相关系数验证才有实际 α=0 β=1 意义。 表示计算值y和实测值y 之间的 意义 。 ε 表示计算值 y 和实测值 y’之间的 误差。 误差。 3、相对误差法 e =∣y -y ∣ /y
i i i i
组观测值与相应计算值数据可得n n组观测值与相应计算值数据可得n 个误差值，将这n个误差值从小到大排列， 个误差值，将这n个误差值从小到大排列， 可以求得小于某一误差值的误差的出现 频率以及累积频率为10 10% 50% 90% 频率以及累积频率为10%、50%和90%的误 差。
通常采用中值误差（累积频率为50% 通常采用中值误差（累积频率为50%） 50 作为衡量模型精确度的度量。 作为衡量模型精确度的度量。 中值误差与统计学上的概率误差是一致的。 中值误差与统计学上的概率误差是一致的。 中值误差可从误差分布的累积曲线上 求出，也可按下式计算： 求出，也可按下式计算：
6、经验公式计算法 、 如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中 河流的复氧速度常数， 的方差等。除经验公式计算法外， 的方差等。除经验公式计算法外，其余方 法均应有自度量和因变量的实测输入输出 数据，注意使用条件，范围。 数据，注意使用条件，范围。 二、模型的验证与误差分析 在模型建立且参数估值之后， 在模型建立且参数估值之后，还应对 模型进行验证和误差分析方可投入应用。 模型进行验证和误差分析方可投入应用。
例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定 已知河流沿程的溶解氧（DO） 数据如下： 数据如下：
X(km) DO(mg/l)
0 10.08 8.528 7.036 6.1
56 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧 20mg/l mg/l， 若起点的BOD（ BOD Cs） 10.0mg/l mg/l， （Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为 Ux=4.0km/h,由 Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的 变化规律符合下述方程: 变化规律符合下述方程:
x*和Z*分别表示参数 取θ0值的状态 和 分别表示参数 分别表示参数θ取 变量值和目标函数值。 变量值和目标函数值。
灵敏度的定义为： 灵敏度的定义为： 附近， 状态变量（ 或目标） 在 θ=θ0 附近 ， 状态变量 （ 或目标 ） 相 对于原值的变化率和参数 θ相对于 θ0的变 相对于 化率的比值称为状态变量（ 或目标函数） 化率的比值称为状态变量 （ 或目标函数 ） 对参数的灵敏度， 对参数的灵敏度，即： 状态变量对参数的灵敏度为： 状态变量对参数的灵敏度为：
一、 模型参数的估值方法 有经验公式， 图解法， 有经验公式 ， 图解法 ， 最小二乘法和最优化 方法等估值方法 除经验公式外， 除经验公式外 ， 其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。 1、 图解法 对经适当处理后以转换为直线的公式，均 对经适当处理后以转换为直线的公式， 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 可用图解法估计参数， 精度和绘制直线的精度。 精度和绘制直线的精度。