第三章 网络的灵敏度分析§3.1网络的灵敏度灵敏度用来表征网络特性对元件参数变化的敏感程度。
它在确定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。
网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。
在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。
例如100Ω%5.1±即表示标称值是100Ω，相对误差是%5.1的一个电阻。
当将一个这样的电阻接入电路时，它的真正值可能是99、100、101等值，不一定刚好等于标称值。
另一方面，实际电路在工作时，随着使用时间的增长、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的变化，元件参数值也难免要发生不同程度的变化而偏离标称值，况且有的元件本身就是作为敏感元件使用的。
这些元件参数的变化必将导致网络函数或网络响应的变化，严重时网络无法正常工作。
研究元件参数变化对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。
电路的灵敏度分析还是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情况分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。
在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。
灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。
著名的电路仿真软件PSPICE 和WORKBANCH 均有灵敏度分析功能。
网络函数H 或网络响应R (统一用T 来表示) 对某元件相关参数p (p 可以是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)变化率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作：pTS ∂∂=(3.1a)有时还要用到相对和半相对灵敏度。
相对灵敏度的定义是：pTp T T p S ln ln 00∂∂=∂∂=(3.1b) 相对灵敏度是无量纲量。
半相对灵敏度的定义是：pTp S ∂∂=0(00=T 时)， p T T S ∂∂=01 (00=p 时) (3.1c)式中0p 和0T 分别是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。
当0p 或0T 为零时，相对灵敏度要么为零要么不存在。
此时要用半相对灵敏度。
从各灵敏度的定义式可见，关键是计算绝对灵敏度。
因此，本章以下只涉及绝对灵敏度的计算。
图3.1 为常用的电桥测量电路。
以1U 为激励，2U 为响应的网络函数为 43321112R R R R R R U U H +++-==(3.2) 设1R 、4R 为热敏电阻，由式(3.2)并根据灵敏度的定义式(3.1a)求得H 对电阻1R 、4R 的灵敏度分别为22121)(R R R R H+-=∂∂ 24334)(R R R R H+=∂∂只有简单电路才能求出网络函数或响应与电路参数的显式表达式，从而借助数学上求偏导数的方法求出灵敏度。
为了对较大规模电路进行灵敏度分析，并且便于编写电路灵敏度分析通用程序，须建立系统的灵敏度分析方法。
§3.2增量网络法当网络参数发生微小变化时，各元件电压、电流便随着产生增量。
在增量网络法中，要根据原来网络构造一增量网络(incremental network)，用以表示电压、电流增量之间的关系。
对增量网络进行分析，即可求得全部网络响应对网络元件参数的灵敏度。
用增量网络法求灵敏度，关键是如何形成增量网络，又如何根据增量网络求得灵敏度。
2.1 增量网络的构成构造增量网络要依据电压、电流增量所满足的结构约束和元件约束。
先分析结构约束。
元件参数改变前，电路的基尔霍夫定律方程为KCL ：0=AI (3.3a)KVL ：n T U A U ＝ (3.3b)其中I 、U 、n U 分别表示支路电流、支路电压列矢量与节点电压列矢量。
在灵敏度分析中，一个二端元件对应一条支路，一个二端口元件对应两条支路，例如受控源的控制端口和被控端口分别对应两条支路。
当某(些)元件参数发生改变时，支路电流、支路电压以及节点电压列矢量也将发生变化，将其增量分别记作U I ∆∆、、n U ∆。
在分析灵敏度时电路结构保持不变。
因此参数变化后的基尔霍夫定律方程为KCL ：0＝＝I A AI I I A ∆∆++)( (3.4a) KVL ：0＝＝)(n n T U U A U U ∆∆++ (3.4b)对比式(3.3a)与(3.4a)、式(3.3b)与(3.4b)得出KCL ：0＝I A ∆ (3.5a)KVL ：n T U A U ∆∆＝ (3.5b) 式(3.5a)、(3.5b) 就是增量网络的结构约束。
它们表明各支路电流、电压增量满足与原网络形式相同的KCL 、KVL 方程，所以增量网络与原网络具有相同的拓扑结构。
下面再讨论增量网络的元件约束，即在增量网络中各元件电压增量与电流增量之间的关系。
(1) 阻抗元件在电路的相量模型中，阻抗可以作为元件，称为阻抗元件。
类似还有导纳元件。
原网络中的阻抗元件方程为图3.1 灵敏度举例R RI Z U= 阻抗参数改变之后的元件方程为))(()(I I Z Z U U ∆∆∆++=+ 展开并略去二阶小量得I Z I Z U∆+∆=∆ (3.6) 这就是阻抗元件对应的电压、电流增量约束方程。
其电路模型如图3.2所示。
图3.2 阻抗支路的增量网络模型I∆Y图3.3 导纳支路的增量网络模型(2)导纳元件与阻抗元件类似，可以求得与导纳元件对应的电压、电流增量约束方程：U Y U Y I∆+∆=∆ (3.7) 其电路模型如图3.3所示。
(3)独立电源对于独立电源，其值不变，即独立电流源S I 为常量；独立电压源S U 为常量。
则在增量网络中有0=∆S I 0=SU ∆ (3.8) 即对应原网络的独立电流源，在增量网络中用开路代替；而对应原网络的独立电压源，在增量网络中用短路代替。
(4)受控电源以电压控制电流源(VCCS)为例，它在原网络N 中的元件方程为j m k U g I = 0=jI 其中k i 、分别表示控制支路和被控支路的编号。
当元件参数发生变化时有))(()(j j m m k k U U g g I I ∆+∆+=∆+ 0)(=∆+jj I I 忽略高阶小量，在增量网络中有=∆∆+∆=∆j mj j m k I g U U g I (3.9) 其电路模型如图3.4。
同理可以得出其它受控电源或其它电路元件在增量网络中的元件方程及电路模型。
在此不一一分析。
图3.4 受控源的增量网络模型2.2 用增量网络计算灵敏度将各元件的增量模型按照原来的互联关系联在一起，便得到电路的增量网络模型。
在增量网络模型中，作为激励的各独立电源都与相应元件参数的增量成正比。
根据叠加定理和齐性定理，增量网络的响应即电流、电压的增量必将是元件参数增量的线性组合，其系数便是待求的灵敏度。
下面举例说明。
注：求谁的灵敏度才变谁。
【例】3.1电路如图3.5(a)所示。
已知V 2=S U ,Z 1＝0.5Ω,Y 2=4S,S 13=Y g m =2S 。
求电压Un1及2n U对1Z 、3Y 及m g 的灵敏度。
3 Y ①②(a)(b)图3.5 例题3.1电路【解】 (1) 用节点法求原网络的解答。
节点方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+0//1121323331Z U U U Y Y g Y Y Y Z S n n m 代入已知数据求解得25.11=n U V , 25.02-=n U V , 有关支路电压电流为5.1/)(111=-=Z U U I n S A, 5.1213=-=n n U U U V (2) 根据各元件增量网络模型，构造图3.5(a)的增量网络如图3.5(b)所示。
同样用节点法进行求解。
增量网络的节点方程为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+m n n n m g U Y U Y U Z Z I U U Y Y g Y Y Y Z 1333311121323331//1 －－ 代入已知数据解得m n mn g Y Z U g Y Z U ∆∆∆∆∆∆∆∆641583645645836425312311-+=---=由上式得所求各灵敏度为6415,83,645645,83,64252321213111-=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂m n n n m n n n g U Y U Z U g U Y U Z U增量网络法也可表达成矩阵形式。
矩阵形式的节点电压方程为)(T S S e n e n n I U Y A U A AY U Y -==其中e Y 表示支路导纳矩阵，A 是节点支路关联矩阵。
利用矩阵对标量求导规则，将上式两端对参数i p 求偏导数得S ie i n e n i e p p p Y U YA U A AY U A A∂∂=∂∂+∂∂T T 将支路电压与节点电压关系n U A U T =代入上式得增量网络方程的矩阵形式 )(T U U A U A A U A U Y -∂∂=∂∂-∂∂=∂∂S ie n i e S i e i n np Yp Y p Y p (3.10) 仍以图3.5(a)为例说明计算步骤。
图3.5(a)的网络线图如图3.6所示，各矩阵分别为关联矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11100101A 支路导纳矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000000/1321me g Y Y Z Y 支路源电压列矢量 V ]0002[T =SU支路源电流列矢量 T ]0000[=SI 节点导纳矩阵 S 5113/132331T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--==Y Y g Y Y Z m e n A AY Y (1) 节点源电流列矢量 A 040/)(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-Z US S S e I U Y A (2)由式(1)、(2)得节点电压法方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-04511321n n U U (3) 方程(3)的解为 T n n n U U ]25.025.1[][T 21-==U图3.6 图3.5的网络线图①支路电压列矢量为 V ]25.05.125.025.1[T T --==n U A U 根据式(3.10)分别得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-∂∂=∂∂025.1][000000000000000/1)(2111U U Z Z Z S S en n A U U Y A U Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-∂∂=∂∂025.1][0000010000000000)(33U U Y Y S S en nA U U Y A U Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-∂∂=∂∂25.10][0001000000000000)(U U g g S S mem n nA U U Y A U Y 由以上各式求得灵敏度为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂64564251211Z UZ U n n ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂83833231Y U Y U n n , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂641564521m n m n g U g U§3.3 伴随网络法伴随网络法是计算灵敏度的又一常用方法。