T (x) T (x0) T (x x0)
T 标量函数T的梯度
T
T
x1
T x2
T
xn
T的变化量ΔT为
T T (x) T (x0) T (x x0 ) T x
n k 1
T xk
xk
n
DT xk
xk
k 1
n
T
DT xk
xk
k 1
T
T
n k 1
T xk
xk T
S
T x
lim
X 0
T x
/ /
T x
T T
x x
x T
T x
（ llnnTx）
T变化的百分率 参数x变化的百分率
即:网络特性的相对变化量与网络参数的相对变化量之比， 是无量纲的纯数。(假定变化量足够的小)
3 . 半归一化灵敏度
T
0，S
T x
def
lim
X 0
T x / x
x
0，S
T x
def
电流源还是电流源)，但可以不具有相同的数值
定义给出了构造伴随网络的方法；注意构造伴随网络时支路划分，独 立源应单独作为一支路，受控源必须采用其二端口模型，控制电流视 为一个短路支路的电流，控制电压视为一个开路支路的电压。
下面讨论原网络与伴随网络的结构和元件参数的关系。
3. 线性网络的伴随网络 (ukiˆk ikUˆk ) 0L L L (2)
原网络中的电流源伴随网络中为开路线
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
所有独立源
R
（3）二端线性电阻和电导
UR RI R （UR UR）（R R）（ IR IR）， UR RIR RIR RIR 高阶偏差项
RI R IˆR RIˆRI R I RUˆ R IˆR I RR Uˆ R RIˆR
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
所有独立源
R
对电压源支路： Uk 0 ， Uk Iˆk IkUˆk IkUˆk ， 令UˆK 0
原网络中的电压源伴随网络中为短路线
对电流源支路： Ik 0 ， Uk Iˆk IkUˆk Uk Iˆk ， 令IˆK 0
2.伴随网络
定义一个网络 Nˆ ，若它与原网络N 满足下列条件，则称
网络 Nˆ 为原网络的伴随网络。
1）两个网络具有相同的拓扑结构，即关联阵等：Aˆ A
2）两个网络中，非独立源支路阻抗阵（或支路导纳阵）
互为转置，即：
Zˆb
Z
T b
,Yˆb
YbT
3）两个网络的独立源具有相同的性质(电压源还是电压源,
-
则UIbTbTUiˆˆbb
0，（U
T b
0，（I
T b
UbT）iˆb IbT）Uˆb
0 0
UbTiˆb IbTUˆb 0 （1） 称为差分形式的特勒根定理！
写成和式为： (ukiˆk ikUˆk ) 0L L L (2)
该式就是伴随网络法计算灵敏度的基本公式
为了利用此式计算灵敏度，需要构造伴随网络, 以求得伴随网 络的支路电压和电流.
，ST x x T 180 x
灵敏度的复数表示法. 分别表示参数的振幅变化1%和 相角变化1度时网络特性的增量
三.灵敏度的基本运算公式(解析灵敏度公式)：P282
（1）S
T1T2 x
S T1 x
S
； T2
x
（2）S
T1 x
T2
T1
1
T2（T1S
T1 x
T2
S
） T2
x
；
（3）S
T x
n
ln T n ln x
Ir1Uˆ r1 （rI r1 rIr1）Iˆr2 Ir2Uˆ r2 Ir（1 Uˆ r1 rIˆr2） rI r1Iˆr2 Ir2Uˆ r2 Ir1Iˆr2r Iˆr1
0
0
为了消去非元件参数变化量
++
Uˆ r1 rIˆr 2
应取：Uˆ r1 rIˆr2 Uˆ r2 0
-
Iˆr 2
+
压)对该参数x的变化率,称为T对于参数x的灵敏度
DxT 小, 就是灵敏度低,说明参数x 的变化, 对变量T 的影响就小
由于绝对灵敏度不能确切地说明各种不同参数对网络特性的影 响程度。为比较分析不同参数的相对变化对网络特性的影响， 对绝对灵敏度做归一化处理，引入相对灵敏度。
2 . 相对灵敏度(归一化灵敏度)：
Uˆ r 2
可见原网络中的CCVS，伴随网络中仍为的CCVS，只是受控源
的位置和控制量的位置互易换位，称为满足相互互易性。
CCCS：U1 0 ，I 2 I1 ， U 1 0 ，I 2 I1 I1
把上述关系代入相应的表达式，
I1
+
U 1
I2
+
I1 U 2
左侧 (U1 j Iˆ1 j I1jUˆ1 j） (U2 j Iˆ2 j I2 jUˆ2 j） 受控源
设 x 时网络特性为T，当x x时，T T，x x，
计算x
T，S
T x
x T
T x
任何（广义）网络函数，
如果求出T的解析表达式，可以直接求导。
S
T x
x T
T x
下面介绍几种工程实际中常用的灵敏度计算方法，电力 系统、控制系统、检测系统等，强弱结合。或者在电路CAD 中常用的方法(清华书PSpice:电子电路的计算机辅助分析与设 计方法）
xk xk
n
ST xk k 1
xk xk
或者
T
T (x)
T (x0)
T
(x
x0 )
1 (x 2
x0 )T
H(x
x0 )
高精度
H为对称矩阵,称为海森(Hessian)矩阵 ，矩阵元素为
hij
2T xix j
二阶微分灵敏度
3)
SxT
x T 100 x
参数变化1%，广义网络特性的增量
4）S
T x
x T 100 x
1). 广义网络函数 (网络特性)：可以是任何一个感兴趣的物理量, 可以是节点电位、支路电流，输入阻抗等等。或网络的输出误 差函数，传递函数等。也就是分析什么就赋予了什么特性
2). 广义网络参数： 实际的网络元件参数 ：Z，Y，g，μ；C; L 等 广义网络参数：影响元件参数的物理量，如温度，频率，压
a) 输出电压：以开路线取出
N原
N微扰
因为开路，所以：Io 0，
取 Iˆo 1A
UoIˆo IoUˆo UoIˆo
原网络开路线的伴随网络为1A的理想电
流源(电流参考方向与原电压参考方向相
同)；则方程左端变为：U o
+
+
Uo
-
∆Uo
-
Nˆ
+
1A
-
UoIˆo IoUˆo （ Uk Iˆk IkUˆk） (Uk Iˆk IkUˆk）
＝0
可见伴随网络中仍为R!
类似的N中的G，Z，Y在伴随网络中也不变! Y
G （ UGIˆG IGUˆG） UGUˆGG （ UY IˆY IYUˆY） UYUˆY Y
Z （ UZ IˆZ ICUˆZ） IZ IˆZ Z
电感：（ U LIˆL ILUˆ L） ILIˆL（j L） j ILIˆLL 电容：（ UCIˆC ICUˆC）UCUˆC（j C） jUCUˆCC
力等标称值，实际值（老化）。
二. 灵敏度的分类：
绝对灵敏度(微分灵敏度) 、相对灵敏度、和增量灵敏度。 定义：把广义网络函数表为广义网络参数的函数,
设 T（x1xn）表示任一网络特性，x表示任意参数 1 .绝对灵敏度 (微分灵敏度)
DxT
T x
lim
X 0
T x
非归一化灵敏度
举例:电路中某参数x(如某电阻)改变时,网络特性T(如某电
+
Uˆ 2
可见原网络中的CCCS，伴随网络中变为的VCVS，满足（受控 源反号）相互互易性。
同理可得原网络中的VCVS，伴随网络中为的CCCS，满足 （受控源反号）相互互易性。
I1
+
U1
I 2
+
+
U 2
- U1
Iˆ1
+
Uˆ1
Iˆ2
Iˆ 2
+
Uˆ 2
原网络中的VCCS，伴随网络中仍为的VCCS，只是受控源的
§7-3 伴随网络法 N原
1.特勒根定理的差分形式：
Ik
+
设网络N因所有网络参数的变化
Uk
Ub Ub Ub，Ib Ib Ib，
-
设网络 Nˆ 与N有相同的A，其各支路电压和电
流为 Uˆk，Iˆk
由特勒根定理：
两式相减得：
N微扰
Ik+∆Ik
+
Uk+∆Uk
-
+ Nˆ Iˆk +
Uk
Uˆ k
-
lim
X 0
T / T x
x
1 T参数,有x=0(x小到可以忽略,几乎不变化).不能再用归一 化灵敏度，可用半归一化。
4 .灵敏度的其他表示法：
1). 增量灵敏度
S
T x
x T
T x
参数x变化一个小量,引起T大变化,用增量灵敏度,也叫大变 化灵敏度
2) 多参数灵敏度（只能用于参数的微小变化）
广义网络函数与多个元件参数有关，即
T T (x1, x2,L , xn ) T (x)