应用大地测量学
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
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§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m

1

y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
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§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
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§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
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§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
（重点） 第五节 高斯投影坐标换带计算（重点） 第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。
基本公式：6-21，实用公式：6-24，精确公式：6-26。
（B，L）计算（x，y）正算公式中子午弧长 X的计算（见本书151页公式5-41）
X C [ β0B ( β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ) s i n B ] ;
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§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
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§6.1.2 正形投影特性
1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变， a=b。长度比仅与点位置有关，不同点投影有不同的长度比。
2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件 是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。
采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭球 面上的相应图形保持相似。
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§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
推导过程：由长度比的定义顾及正形投影的特性导出。
几何投影--中心投影
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§6.1.1 地图投影及其变形
（二）投影变形 投影变形不可避免（褶皱或破裂）。有角度变形、长度
变形和面积变形三种。根据实际需要选择某种变形为零或 使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形， 但长度和面积有变形。
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§6.1.1 地图投影及其变形
高斯平面直角坐标系的X轴和Y轴。
x
N
N
O
O
y
S S
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§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影的条件： （1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等 于1。 （4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外， 不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开 中央子午线愈远，长度变形愈大。
§6.1.4 正形投影的一般公式
根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎 曼(Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。
x iy f (q il)
通过证明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条 件。也就是说能满足上述复变函数的函数f，都能满足正形投 影条件。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。
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§6.2.4 高斯投影的计算内容
第二种方法的具体推算内容如下: 1、将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为高斯平面坐标（x1，y1）—— 高斯投影坐标计算。 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面坐标方位角T12；
T12=A12-γ+δ12 式中，γ为子午线收敛角，δ12为方向改正。 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上的直线长度D12：
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§6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系
§6.2.1 高斯投影的基本概念
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
§6.2.3 高斯投影的分带
§6.2.4 高斯投影的计算内容
Байду номын сангаас
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§6.2.1 高斯投影的基本概念
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。在高斯投影
平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为
§6.1.4 正形投影的一般公式
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§6.1.1 地图投影及其变形
（一）几何投影及其变形
几何投影——又叫透视投影，有中心投影、平行投影等。 特点：有几何意义，有投影函数。
数学投影——是数学的投影，建立椭球面大地坐标（B、 L）与投影平面上对应的坐标（x、y）之间的函数关系。 无几何意义，是一种数学变换。
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§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
§6.1.4 正形投影的一般公式
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§6.1 地图投影概念和正形投影性质
§6.1.1 地图投影及其变形
§6.1.2 正形投影特性
§6.1.3 正形投影的一般条件
C a 2/b； 对 应 不 同 的 椭 球， 其 参 数 不 同 ， 所 计 算的 X不 同 。
上式可以变换为：
B

X C β0
（ β2c o s Bβ4c o s3B β6c o s5B β8c o s7B ） s i n B ，
依 此 公 式 按 迭 代 法 可 以由 X求 B。
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式 中β , 0
1
3 e2 4

4 5 e4 64
175e6 256
11025e8， 16384
β2
β0
1 ， β4

15 e4 32
175e6 384

3 6 7 5e8， 8192
β6

35e6 96

735 e8， 2048
β8

315 e8， 1024
a
x' x
,b
y' y
若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。
若ab=1，则为等面积投影。
椭球面上的微分圆：
投影平面上对应为微分椭圆：
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§6.1.1 地图投影及其变形
（五）地图投影的分类
等角投影——投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。 平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。 圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学 投影。 圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切， 按数字投影。 正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。
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§6.1.3 正形投影的一般条件
正形投影的一般条件的推导过程
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§6.1.3 正形投影的一般条件
其推证步骤为： 1、从长度比表达式出发
，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关系式：
m2


d s 2
d
S

d x2 d y2
d x2
( M d B )2 ( N c o s B d L2) ( N c o s B2)[ (
L0 3° 9°
75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
N1
2
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
L 0° 6° 12°72° 78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138°
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§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式： x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件 推导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、将以上公式在e（B，0）点展开， 此处中央子午线长度比 m=1，有
4、由
求各阶导数。
n 1 23
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
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§6.2.3 高斯投影的分带
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式：LN=6N-3
3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：Ln=3n