2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：东南大学参赛队员(打印并签名) ：1. 孙元610083172. 于冰610083223. 陈魁东61008327指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2010 年 7 月 23日41 交通网络中的Braess悖论问题摘要：Dietrich Braess 在1968 年的一篇文章中提出了道路交通体系当中的Braess 悖论。
它的含义是：有时在一个交通网络上增加一条路段，或者提高某个路段的局部通行能力，反而使所有出行者的出行时间都增加了，这种为了改善通行能力的投入不但没有减少交通延误，反而降低了整个交通网络的服务水平。
在复杂的城市道路当中，Braess 悖论仍然不时出现，造成实际交通效率的显著下降。
我们通过局部分析法构建最简路网模型来研究和解决北京二环内（含二环）的城市交通中的Braess 悖论。
对于问题一，我们首先分析得知“日”字形路网是可以导致braess悖论的最简单路网。
所以我们通过局部分析法将二环内路网（含二环）划分成多个“日”字形路网并对其中的六个典型的“日”字形路网分析发现部分路网中确实存在braess 悖论现象，由于增开辟了一些路段导致出行时间增加了。
对于问题二，我们将GPS导航功能反应为司机们都可以选择最短行驶时间的路径，进而得出所有车辆所有路径的耗时都相同的结论。
这样我们只需要计算得到六个路网的车流量分配结果和平均耗时并与问题一进行了对比，对比发现出行时间确有减少，说明GPS导航确实可以缓解道路交通压力，使系统中的车辆运行总时间减少。
对于问题三，从模型一中的结果可以发现六个路网中只有路网四发生了braess 悖论现象。
从模型二中的结果可以发现Q=500时只有路网一和路网四的增设路径增加了出行时间；而当车流量继续增加时（增加至Q=1500时），路网一中的增设路径耗时逐渐接近其他路径，达到减缓道路交通压力的目的，此路径不可以关闭。
而路网四恰恰相反，当车流量继续增加时，增设路径耗时比其他路径的耗时越来越多，不可能起到减轻道路交通压力的作用，应该关闭。
所以分析得知，应该关闭路网四的S-R路段，以缓解交通堵塞的可行性。
其他道路均可以起到减缓交通拥堵的作用。
关键词：局部分析法延时系数判别式用户均衡解 pareto边界问题重述问题背景：近年来，日益严重的堵车问题已成了北京交通的难题。
造成交通拥堵的直观原因是城市道路建设速度赶不上机动车增长的速度。
如果车量不变，单靠扩充交通网络中道路的通行能力，却不一定能缓解交通的拥挤堵塞。
1968 年Dietrich Braess 在他的一篇论文中提出在平衡交通流网络中存在一种看似矛盾的Braess 悖论现象。
它的含义是：有时在一个交通网络上增加一条路段，或者提高某个路段的局部通行能力，反而使所有出行者的出行时间都增加了，这种为了改善通行能力的投入不但没有减少交通延误，反而降低了整个交通网络的服务水平。
人们对这个问题做过许多研究，在城市建设当中也尽量避免这种现象的发生。
但在复杂的城市道路当中，Braess 悖论仍然不时出现，造成实际交通效率的显著下降。
回答问题：要求以北京市二环路以内的路网为问题背景研究解决下面三个问题：问题一：通过分析北京城市的道路交通情况（自行查询的数据需给出引用来源），建立合理的模型，判断在北京市二环路以内的路网中（包括二环路）出现的交通拥堵，是否来源于Braess 悖论所描述的情况。
问题二：建立模型以分析：如果司机广泛使用可以反映当前交通拥堵情况的GPS 导航系统，是否会缓解交通堵塞，并请估计其效果。
问题三：建立合理的模型，研究临时关闭道路以缓解交通堵塞的可行性。
如果可行，请给出具体的关闭方案。
城区道路网使用北京市二环路的地图。
问题分析问题一分析：解决该问题只需要确定北京二环内（含二环）有无路网出现braess悖论现象。
二点之间的线路最简单为双向单线，存在两条线路时将构成一个闭环，分析可知此时始终不会出现braess悖论现象，若在闭环内增设一条路径则可能出现braess 悖论现象，也就是形成“日”字形路网是可以导致braess悖论的最简单路网。
所以我们通过局部分析法将二环内路网（含二环）划分成多个“日”字形路网，判断每个局部路网是否出现braess悖论现象。
问题二分析：我们将GPS导航功能反应为司机们都可以选择最短行驶时间的路径，进而得出所有车辆所有路径的耗时都相同的结论。
这样我们只需要计算得到六个路网的车流量分配结果和平均耗时并与问题一进行了对比，观察两种情况下平均行驶时间有无变化即可。
问题三分析：由于问题二中已经得出了各条路段上的车流量和各条路径的行驶时间，我们可以利用此结果观察查找有无路径的耗时始终增大，而且没有车流量分配到该路径。
如果有，则这样的路段是可以关闭的；如果没有，则所有的路段都是可以减缓道路交通压力的，都不可以关闭。
模型建立及求解模型假设：1、天气道路质量、拥挤程度和综合路阻等这些可测因素都在后面的延时参数中体现，建模时不再考虑这样的问题。
2、司机对道路是熟悉的，不存在迷路绕远问题，并且能自行选择最短路径。
3、谷歌地图中的路况四种颜色反应为道路上的车距，并认为车距平均分布。
4、不考虑各条道路的车道数量。
5、不考虑车型差异，认为车辆车长一致都是5米。
6、道路的自由通行时间定义为汽车以最大限速速度行驶该路段的时间。
7、司机选择路线时不存在个人嗜好，完全从个人利益出发,选择出行成本最小的路径8、假设每段道路的行驶时间=自由行驶时间+（延时系数*车流量）模型准备：所有合作博弈的解都具有这样的性质:在均衡点处，任何用户收益的增加都必将导致其他用户收益的降低,网络所能调整的全部合作对策解的集合构成了Pareto 边界。
从博弈论角度来看,Braess 悖论实质上是非合作网络中Nash 平衡点不满足Pareto 最优性时出现的诡异现象。
问题分析可知：可能出现braess 悖论的最简单路网为“日”字形路网。
下面我们针对此类路网进行分析：（a ）“口”字形路网 （b ）“日”字形路网由模型假设可得行驶时间计算公式：ijij ij ij t a b f =+其中，ij t 表示汽车在i j 路段上的行驶时间；ij a 表示汽车在i j 路段上的自由通行时间； ij b 表示i j 路段的延时系数； ij f 表示i j 路段的车流量；ij ij b f 表示每增加单位车流量时所增加的出行时间；p q假设该问题满足对称条件：1212,,oq pr op qr oq pr op qr a a a a a a b b b b b b ========当路段op 和qr 都很短或者相比oq （pr ）路段可忽略时，其自由通行时间可近似为零，即：20a =当增加一条新路线pq ，构成“日”字形路网时，假设pq 路段的延时系数等于oq段，即：1pq b b =则路网中各路段的行驶时间可表示为：2211111op op qr qr oq oq pr pr pq pq pqt b f t b f t a b f t a b f t a b f ===+=+=+ “口”字形路网：该路网中中从o 至r 有两条路径：o-p-r 和o-q-r ，对应的行驶时间为：o-p-r ：211opr op pr op pr t t t b f a b f =+=++o-q-r ：112oqroq qr oq qr t t t a b f b f =+=++设从o 点进入该路网的总车流量为Q ，其中路径o-p-r 上的车流量为X ，则路径o-q-r 上的车流量为Q-X ，即：,[0,],op pr oq qr f f X X Q f f Q X ==∈==-参阅相关资料后，我们取115a =，7.5pq a =，10.01b =，20b =，1000Q =则：150.01opr t X =+250.01oqr t X=-其中[0,1000]X ∈；做出opr t 和oqr t 的函数曲线分别如下图：图中两条线的交点为用户均衡解，偏离这一平衡必然导致一个目标数值减小时另一个目标函数值增加。
此时用户均衡解在Pareto 边界上，因此，尽管用户之间是非合作关系，其结果任满足Pareto 最优性，不存在可以同时提高双方性能的解，即不存在braess 悖论现象。
“日”字形路网：此路网中从o 点至r 点除了上述两条路径外，还有o-p-q-r 路径。
由路网的对称性可设上述两条路径上的车流量相同，均为X ，则分流到o-p-q-r 路径上的车流量为Q-2X ；取相同的参数带入计算并做图得此时只有一个Pareto 最优解X=500，20opr oqr t t ==，路段o-p-q-r 上没有车流；而用户均衡解为X=250，22.5opr oqr opqr t t t ===。
显然用户均衡解不在Pateto 边界上，此时出现Braess 悖论：在路网中增加一条通路反而增加了所有用户的出行时间。
模型一：实际上北京城区的路网更趋近于下图所示形状：00从O 点到N 点有3条路线O-R-M-N ，O-P-S-N 和O-R-S-N ；假设进入该路网的总车流量为Q ，通过OP 段的车流量为x1,通过RM 段的车流量为x2，则通过其余各段的车流量都可以用这三个量表示出来，并根据ij ij ij ij t a b f =+计算得各段的行驶时间，进入得出三条路径的总时间。
做图分析可得当延时系数之间满足：124536()()b b b b b b ++≤则该问题的pareto 最优解与用户均衡解不一致，发生braess 悖论现象。
所以该式也就是判别是否产生braess 悖论的判别式。
我们只需要对北京二环内（含二环）主要路网进行延时系数计算，并检验系数之间是否满足上式即可判断有无braess 悖论发生。
由于时间、车流量和延时系数满足关系式ij ij ij ij t a b f =+，所以我们通过公式ij ijij ijt a b f -=计算得到各路段的延时系数，首先我们查阅相关资料得出二环以内（含二环）各路段距离如下：a4+b4x2N a5+b5x2a6+b6(Q-x1)a3+b3(Q-x2) a2+b2x1a1+b1x1结点A 结点B 距离/千米1 2 1.61 5 1.12 3 3.72 6 1.73 4 1.33 7 1.74 8 1.75 6 1.55 9 2.86 7 3.76 10 2.97 8 1.57 11 2.98 12 2.79 10 1.59 13 0.910 11 3.7 10 14 0.8 结点A 结点B 距离/千米11 12 1.511 15 0.812 19 2.213 14 1.513 16 1.414 15 3.714 17 1.215 18 116 17 2.116 20 2.317 18 3.917 21 2.118 19 2.118 22 2.519 23 2.520 21 221 22 3.922 23 2我们选取二环内最典型的六个“日”字形路网进行延时系数计算：路网一：路段编号路长 流量 通行时间 自由通行时间延迟参数 1 1.6 160 120 72 0.3 2 3.7 270 195.8823529 166.5 0.1088235293 1.7 170 127.5 76.5 0.34 1.5 100 75 67.5 0.075 5 3.7 370 277.5 166.5 0.36 1.5 100 75 67.5 0.075 71.71138576.50.075检验延时系数关系得：251634()()b b b b b b ≤++；不会发生braess 悖论。