一个几何概型试题的题源探究
《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页
1 题目
点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .
（2009年福建省数学高考文科试题）
解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为
122
3
B B P =
=优弧长圆周长.
2 题源
2.1 源于历史名题
初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”
从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：
解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1
=3
BC P =
圆周长.
2B
B
1B
B
B B
B B 图1
A
C
图2
A
B P
P
P
P
解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直
径AB
的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>
1
2
≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为1
2
CD P AB =
=.
解法3 如图4
所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>
，于是弦心距12
≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为
1
2
的圆内或圆上，故所求概率2
1()12
4
P ππ
==
. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.
同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.
几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身.悖论提出后，在数学界引起很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论.1932，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上.
图4
图3
，O的内接正三角形的边长等于取O的任一弦长
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身.
在一给定圆内所有的弦中任选一条弦,求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率.
取单位圆O ，O 取O 的任一弦长AB ，记“AB >的事件为A .
1.L >
如果
2433ππα<<
, 其发生的概率为1
3；
2.L >如果12r <, 其发生的概率为1
2
.
3.L >如果(,)x y 在半径为12的圆内，其发生的概率为1
4
.
悖论分析
1）由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60～120 之间，其长才合乎要求.所有方向是等可能的，则所求概率为1
3
.此时假定端点在圆周上均匀分布.
2）由于对称性，可预先指定弦的方向.作垂直于此方向的直径，只有交直径于14点与34
点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1
2
.此时假定弦的中心在直径上均匀分布.
3）弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求.中点位置都是等可能的,则所求概率为
1
4
.此时假定弦长被其中心唯一确定. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。
然而，1899年，法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指一些数学基本概念。
贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评，促使概率论向公理化方向发展。
然而，人类也因此再一次错失了一次纠偏的大好时机！
在半径为1的圆内的所有弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率.
解法一：
由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60～120之间，其
长才合乎要求。
所有方向是等可能的，则所求概率为1
3
.
解法二：
由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于1
4
点与
3
4
点间的
弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1
2
.
解法三：
弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要
求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为1
4
.
三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox。
其实，这些结果都是对的。
因为它们采用了不同的等可能性假定：
解法一假定端点在圆上均匀分布；
解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布；
解法三假定弦的中点在圆内均匀分布.
这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的.
现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布。
那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了.它们的分布情况如下：
解法一的弦中点分布：
从贝特朗的这个悖论，我们可以清醒地看到数学家们对点的分布状态影响问题的结果是有认识的！事实上，贝特朗悖论告诉了我们一个很浅显的道理：我们在解决一个问题之前，就应该设定点的分布状态。
然而，遗憾的是数学家们不去反省由此悖论反应出来的数学基础是否牢固，而总是弄出一大堆理论来试图亡羊补牢。
说句不好听的话，数学的公理化是什么？就是如果你说的一大堆谬论没有自相矛盾，那么恭喜你，你创造了一套理论.
现在问题来了！数学中我们经常所说的“点”究竟是什么？平面或者空间中点的分布状态到底是怎么样的？我们一般倾向于假设点在平面或者空间是均匀分布的，但是“均匀”这个词并不能表达所有，是在每个方向上是均匀的吗？在每条直线上的密度是一样的吗？我们能建立直角坐标系吗？
如果我们建立了直角坐标平面xOy ，那么就等于宣布了平面上的点在x 轴和y 轴方向上都是均匀的，而且在x 轴和y 轴上的“密度”是相同的！
我们在向自己的学生讲授函数知识的时候，总是说单调函数是从定义域A 到值域B 上的一一对应。
果真是这样吗？下面我也仿照贝特朗悖论，提出下面一个悖论：
首先我们假设平面内的点在x 轴和y 轴上都是均匀分布的，这个大家没有意见吧？！给定一个分段函数：,
0121,12
x x y x x ≤≤⎧=⎨
-<≤⎩。
这是一个单调函数，按照数学家们的说法，按照这个对
应法则，从定义域[0,2]到值域[0,3]建立了一个一一对应关系。
下面我要问：当x 在[0,2]内变化时，[0,1]x ∈的概率是多少？如果在x 轴上看，概率当然是
1
2
；又因为通过这个函数可以得到[0,1][0,1]x y ∈⇔∈，[0,2][0,3]x y ∈⇔∈，这就是说，如果通过这个函数转移到y 轴上去看,概率变成了
1
3。
问题出在哪儿？。