【详解】
集合U R , A x | x 0, B x | x 1
所以 CU B x x 1 所以 ACU B x x 0x x 1 x 0 x 1
故选:A 【点睛】 本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
2．下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递减的是（ ）
1
A． y x 2
到函数的解析式，又因为当 x 时， 2x π π ，由此即可得到本题答案.
3
62
【详解】
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由题，得 f (x)
3
sin
x
cos
x
2
sin
x
6
，
因为 y f (x) 的图象与直线 y 2 的两个相邻交点的距离等于 ，
所以函数 y f (x) 的最小正周期T ，则 2 2 ， T
32
32
y x2 (a 1)x ，
当 a 1 0 ，即 a 1时， y 0 ， y f (x) ax b 在[0 ， ) 上递增，
y f (x) ax b 最多一个零点．不合题意；
当 a 1 0 ，即 a 1时，令 y 0 得 x [a 1 ，) ，函数递增，令 y 0 得 x[0 ，
2020 届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟考试数学试 题
一、单选题
1．设集合U R（ R 为实数集），A x | x 0 ，B x | x 1 ，则 A CU B （ ）
A．x | 0 x 1 B．x | 0 x 1 C．x | x 1
D．x | x 0
【答案】A
【解析】根据集合交集与补集运算,即可求得 A CU B .
【答案】 2 6 1． 5
【解析】因为
x
2
y
1 5
1 y
3 x
(
x
2
y)
，展开后利用基本不等式，即可得到本题答
案.
【详解】
由 x 3y 5xy ，得 1 3 5 ， yx
所以
x
2y
1 5
1 y
3 x
(x
2y)
1 5
5
x y
6y x
1 (5 5
2
x 6y ) 2 6 1，当 yx 5
32
32
利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
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【详解】
当 x 0 时， y f (x) ax b x ax b (1 a)x b 0 ，得 x b ； 1 a
y f (x) ax b 最多一个零点；
当 x 0 时，
y f (x) ax b 1 x3 1 (a 1)x2 ax ax b 1 x3 1 (a 1)x2 b ，
且仅当 x 6 y ，取等号.
故答案为： 2 6 1 5
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.
14．已知向量 a ， b 满足| a | 2 ，| b | 3 ，且已知向量 a ， b 的夹角为 60 ，
(a c) (b c) 0 ，则 | c | 的最小值是__．
又 PQ | OF | c ，| PA | c , PA 为以 OF 为直径的圆的半径， 2
A为圆心| OA | c ． 2
P
c 2
,
c 2
，又
P
点在圆
x2
y2
a2
上，
c2
c2
a2 ，即 c2
a2,
44
2
e2
c2 a2
2．
e 2 ，故选 A．
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【点睛】 本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几 何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲 线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
种情况，又从中任意摸取 3 个小球，有 C130 种情况，所以取出的 3 个小球中数字最大的
为4
的概率 P
C21C62 C22C61 C130
3 10
.
故答案为： 3 10
【点睛】
本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.
13．已知 x 0 ， y 0， x 3y 5xy ，则 x 2y 的最小值是__．
故选 C ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 a, b 两个参数，故按“一元化”想法，
逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
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二、填空题
10．已知复数 z (a 2i)(1 i) ，其中 i 为虚数单位，若复数 z 为纯虚数，则实数 a 的值
【解析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字 4，另外两个数字从 1，2，3
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里面选和②有两个数字 4，另外一个数字从 1，2，3 里面选，由此即可得到本题答案. 【详解】 满足题目要求的情况可以分成 2 大类：①有一个数字 4，另外两个数字从 1，2，3 里面
选，一共有 C21C62 种情况；②有两个数字 4，另外一个数字从 1，2，3 里面选，一共有 C22C61
a 1) ，函数递减；函数最多有 2 个零点；
根据题意函数 y f (x) ax b 恰有 3 个零点 函数 y f (x) ax b 在 (, 0) 上
有一个零点，在[0 ， ) 上有 2 个零点， 如图：
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
b 1 a
0
且
1 3
(a
1)3
1 2
(a
1)(a
1)2
b
0
，
解得 b 0，1 a 0 ， 0 b 1 (a 1)3,a 1 ． 6
是__． 【答案】2
【解析】由题，得 z (a 2i)(1 i) a 2 (a 2)i ，然后根据纯虚数的定义，即可
得到本题答案. 【详解】
由题，得 z (a 2i)(1 i) a 2 (a 2)i ，又复数 z 为纯虚数，
所以 a 2 0，解得 a 2 .
故答案为：2 【点睛】 本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.
11．在 ( x 1 )8 的展开式中， x 的系数等于__． 2x
【答案】7
【解析】由题，得 Tr1
C8r
1 x2
8r
1 2
1
x2
r
C8r
1
r
2
x4r
，令 r
3，即可得到本
题答案.
【详解】
由题，得 Tr1
C8r
1 x2
8r
1 2
1
x2
r
C8r
1
r
2
x4r
所以
f
(x)
2 sin
2x
6
，
当 x 时， 2x π π ，
3
62
所以
x
3
是函数
f
(x)
2 sin
2x
6
的一条对称轴，
故选：D 【点睛】 本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
7．设 F 为双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直
径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
【答案】A 【解析】准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求 双曲线的离心率．
【详解】
设 PQ 与 x 轴交于点 A ，由对称性可知 PQ x 轴，
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A．800 【答案】B
B．1000
C．1200
D．1600
【解析】由图可列方程算得 a，然后求出成绩在[250,350] 内的频率，最后根据频数=
总数×频率可以求得成绩在[250,350] 内的学生人数.
【详解】
由频率和为 1，得 (0.002 0.004 2a 0.002)50 1 ，解得 a 0.006 ，
【答案】C
B． y 2x
C． y log1 x 2
D． y 1 x
【解析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.
【详解】
因为函数
y
1
x2,
y
2x 和
y
1 x
在 (0, ) 递增，而
y
log 1
2
x
在 (0, ) 递减.
故选：C
【点睛】
本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.
3．已知
a
2
所以 a c b.
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题.
4．设 x R ，则“| x 1| 2 “是“ x2 x ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必条件
【答案】B
【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
，
令
r
3 ，得
x
的系数
C83
1 2
3
7
.
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属基础题. 12．一个袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从中任意摸取 3 个小球，每 个小球被取出的可能性相等，则取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的概率是__．