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初中数学校本课程

初中数学校本课程序言数学是打开知识大门的钥匙,是整个科学的基础知识。

创新教学的先行者里斯特伯先生指出:“学生学习数学就是要解决生活问题,只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题,我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益,所以数学首先应该是生活概念。

”在生活中学数学,以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。

我们选取的都是从学生生活实践中取材,将数学知识巧妙地运用于生活之中,增加了学生对数学的兴趣,实现新课改所倡导的情感体验,培养良好的科学态度和正确价值观的目标。

数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好,又要激发和培养学生新的兴趣和爱好,要要求和鼓励学生投入生活,亲身实践体验。

选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣,给与每个学生主体性发挥的广阔空间,从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。

使学生成为学习的主人,学有兴趣,习有方法,必有成功。

学生的个性在社会活动中得以健康发展,学生的潜能在自学自育中得到充分开发。

我们的数学校本课程方案包括两个基本部分:一般项目和基本具体方案。

课程纲要一、课程目标:以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨,针对数学这门课的特点,从生活中挖掘数学,提高学生应用数学知识解决有关问题的能力,培养学生的观察,分析能力,充分发挥学生的创造性,开发学生自身的潜能,并且加强对学生的动手操作能力的训练,鼓励学生能够展示自己的研究成功,培养学生的成功心态,使学生的心理得到健康的发展,使每位学生的能力得到充分体现。

二、课程概况:本课程由XXX等老师具体负责实施。

本课程在初一、初二、初三级部实施。

三、课程内容与活动安排:让学生体会数学史可发生在我们的周围,我们的生活空间是无穷的数学世界,在课堂上多设情景,应用数学解决问题,让他们充分发挥自己的创造性,感受到数学的乐趣,在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识,从而培养学生良好的学习习惯,观察事物的能力,形成正确的人生观、价值观。

授课对象:初一、初二、初三学生授课时间:星期三课外活动,一课时。

授课地点:教室数学校本课程总的内容:一、目标:以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨,针对数学这门课的特点,从生活中挖掘数学,提高学生应用数学知识解决有关问题的能力,培养学生的观察,分析能力,充分发挥学生的创造性,开发学生自身的潜能,并且加强对学生的动手操作能力的训练,鼓励学生能够展示自己的研究成功,培养学生的成功心态,使学生的心理得到健康的发展,使每位学生的能力得到充分体现。

一、课程介绍:1、生活中的数学以体会数学与人、自然的关系为切入点,使学生感触学习数学的价值,增强学习数学和应用数学的信心,培养学生动手实践的兴趣;以创设情景形成良性的学习竞争氛围为基础,使学生在一个浓郁的学习气氛中互学互助,每个人都要获得成功,每个人都要进步。

2、趣味规律数学数学趣味性和规律性很强,找到一些数学规律,充分发挥学生的创造力,提高学生的逻辑思维能力,掌握数学思想方法,适应时代的需要。

按照学生的认识规律,依据启发性和趣味性相结合的原则,增补动手操作,给学生提供更多的动手机会,重视理论联系实际,扩展教材把数学问题放在社会的大背景下启发学生的思考,让学生走进生活,应用于生活,使学生了解数学知识与社会各方面的联系,以便于学生理解所学的指示,培养学生的实践意识,在趣味性的引导下,学生兴趣盎然,带给学生更多的思索和启发,学生不仅获得数学知识,经过趣味实验,还初步掌握了数学研究的方法,体验到了深究其理和创新实验的乐趣。

3、解决问题的策略经历利用特殊情况探索一般规律的过程,经历分情况探讨论的过程,经历将生疏的、繁杂的、未解决的问题转化为熟悉的、简单的、以解决问题的能力,经历用数与形结合的方法解决位的探索过程,经历用整体思想解决问题的探索过程,经历多种策略解决统一问题的探索过程。

使学生明确解决一个问题往往可以从不同的角度去考虑,养成善于思考,善于创新,善于用更好地解决问题策略去解决问题的好习惯。

目录勾股定理的证明 (6)生活中的轴对称 (21)探究活动(设计花坛) (26)镜子改变了什么 (27)频率与概率 (28)几何就在你的身边 (32)一个小数点与一场大悲剧 (34)压岁钱”与“赈灾小银行” (36)建议班级购买一台饮水机 (38)巧用数学看现实 (41)怎样烧开水最快最省煤气 (44)生活中的数学问题 (50)探讨出租车司机的生意经 (54)最高的与最矮的 (57)表面涂漆的小积木的块数 (59)抽屉原理和六人集会问题 (62)怎样列分式方程解应用题 (65)勾股定理的证明【证法1】(课本的证明)做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++, 整理得 222c b a =+.【证法2】(邹元治证明)以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上,B 、F 、C 三点在一条直线上,C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF , ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形,它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】(赵爽证明)以a 、b 为直角边(b>a ), 以c 为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º,∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形,它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】(1876年美国总统Garfield 证明)以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE , ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形,它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED , ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c , ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理,HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ,则,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】(项明达证明)做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b (b>a ) ,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ,交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ,垂足为M ;再过点 F 作FN ⊥PQ ,垂足为N .∵ ∠BCA = 90º,QP ∥BC , ∴ ∠MPC = 90º, ∵ BM ⊥PQ , ∴ ∠BMP = 90º,∴ BCPM 是一个矩形,即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º, ∴ ∠QBM = ∠ABC ,又∵ ∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c , ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA . 同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明). 【证法7】(欧几里得证明)做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H 、C 、B 三点在一条直线上,连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE , 交AB 于点M ,交DE 于点L .∵ AF = AC ,AB = AD , ∠FAB = ∠GAD , ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ,∵ ΔFAB 的面积等于221a,ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半,∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证,矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ,即 222c b a =+.【证法8】(利用相似三角形性质证明)如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ,斜边AB 的长为c ,过点C 作CD ⊥AB ,垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中,∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º, ∠CAD = ∠BAC , ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB , 即 AB AD AC •=2.同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB ,从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+,即 222c b a =+.【证法9】(杨作玫证明)做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b (b>a ),斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ,AF 交GT 于F ,AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ,垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直,垂足为E ,DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º,∠P AC = 90º, ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º,∠BCA = 90º, AD = AB = c , ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ,AH = AC = b .由作法可知, PBCA 是一个矩形,所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ,AP= a ,从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ,∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º,∠DHF = 90º,∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º, ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ,TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形,上底TF=b ―a ,下底BP= b ,高FP=a +(b ―a ).用数字表示面积的编号(如图),则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-, 985S S S +=,∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①,得98812212S S S S b S S c ++--++==922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】(李锐证明)设直角三角形两直角边的长分别为a 、b (b>a ),斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图).∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º, ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º,BT = BE = b , ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º,∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º, ∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a , ∠HGF = ∠BDC = 90º,∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ,垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º,可知 ∠ABE= ∠QAM ,而AB = AQ = c ,所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ,又得QM = AE = a ,∠AQM =∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º,∠BAE + ∠CAR = 90º,∠AQM = ∠BAE ,∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º,QM = AR = a , ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =. ∵543212S S S S S c ++++=,612S S a +=,8732S S S b ++=,又∵ 27S S =,58S S =,64S S =,∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++ =2c ,即 222c b a =+.【证法11】(利用切割线定理证明)在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a ,AC = b ,斜边AB = c . 如图,以B 为圆心a 为半径作圆,交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ,则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º,点C 在⊙B 上,所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理,得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+ = 22a c -, 即222a c b -=,∴ 222c b a =+.【证法12】(利用多列米定理证明)在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a ,AC = b ,斜边AB = c (如图). 过点A 作AD ∥CB ,过点B 作BD ∥CA ,则ACBD 为矩形,矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有BD AC BC AD DC AB •+•=•,∵ AB = DC = c ,AD = BC = a , AC = BD = b ,∴ 222AC BC AB +=,即 222b a c +=, ∴ 222c b a =+.【证法13】(作直角三角形的内切圆证明)在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a ,AC = b ,斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ,切点分别为D 、E 、F (如图),设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ,BF = BD ,CD = CE ,∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+, ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+,即 ()222242c rc r ab b a ++=++,∵ab S ABC 21=∆,∴ ABC S ab ∆=42, 又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2,∴()ABC S rc r ∆=+442, ∴()ab rc r 242=+, ∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法14】(利用反证法证明)如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ,斜边AB 的长为c ,过点C 作CD ⊥AB ,垂足是D .假设222c b a ≠+,即假设 222AB BC AC ≠+,则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2,或者 BD AB BC •≠2. 即 AD :AC ≠AC :AB ,或者 BD :BC ≠BC :AB .在ΔADC 和ΔACB 中, ∵ ∠A = ∠A ,∴ 若 AD :AC ≠AC :AB ,则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中, ∵ ∠B = ∠B ,∴ 若BD :BC ≠BC :AB ,则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º,∴ ∠ADC ≠90º,∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以,222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】(辛卜松证明)设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ,斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+;把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】(陈杰证明)设直角三角形两直角边的长分别为a 、b (b>a ),斜边的长为c . 做D两个边长分别为a、b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图).在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC,则AD = c.b+―a = b.∴DM = EM―ED = ()a又∵∠CMD = 90º,CM = a,∠AED = 90º,AE = b,∴RtΔAED ≌RtΔDMC.∴∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c.∵∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º,∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º,∴∠ADC = 90º.∴作AB∥DC,CB∥DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º,∴∠BAF=∠DAE.连结FB,在ΔABF和ΔADE中,∵AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE,∴ΔABF ≌ΔADE.∴∠AFB = ∠AED = 90º,BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中,∵ AB = BC = c ,BF = CG = a ,∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=, 6212S S S b ++=, 732S S a +=,76451S S S S S +===,∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.生活中的轴对称我们生活在一个充满对称的世界之中,对称给人以平衡与和谐的美感。

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