2019-2020学年安徽省合肥六中、一中、八中联盟高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．化简+﹣等于（）A．B．C．D．2．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r13．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞04．已知向量＝（1，2），＝（﹣3，3），若m+n与﹣3共线，则＝（）A．B．3C．﹣D．﹣35．将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.86．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B 两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知（）A．A＜B，S A2＜S B2B．A＞B，S A2＜S B2C．A＜B，S A2＞S B2D．A＞B，S A2＞S B27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且sin2C ＝sin A sin B，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形8．已知单位向量，满足（+2）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣10．若关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）A．（6，7]B．（6，7）C．[6，7）D．（6，+∞）11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（）A．•＝﹣1B．＝+C．|++|＝D．在方向上的投影为12．若[x]表示不超过x的最大整数（例如：[0.1]＝0，[﹣0.1]＝﹣1），数列{a n}满足：a1＝3，a n+1﹣a n＝2n+2，则[]+[]+…+[]＝（）A．1010×2021B．1010×2020C．1009×2021D．1009×2020二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上．13．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：年份20152016201720182019年份代码x12345年产量y（万吨） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据表格可近似得回归方程＝0.2x+，预测该地区2020年蔬菜的产量为（万吨）．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+4，C＝，则△ABC的面积是．15．设S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a3＝，S3＝，则a1＝．16．已知实数x，y满足y≠2x，x≠﹣2y，且+＝1，则x2+y2的最小值为．三、解答题：本大题满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab．（1）求C；（2）若a cos B+b sin A＝c，c＝，求a．18．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．19．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分）．根据调查数据制成表格和频率分布直方图．已知评分在[80，100]的居民有900人．满意度评分[40，60）[60，80）[80，90）[90，100）满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η＝，若η＜0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整．根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员．求这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率．20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a1＝1，S n＝．数列{b n}满足：＝2．（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB＝ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式，并指出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？22．已知数列{a n}满足，a n+1a n﹣2a n+1+1＝0．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n+1b n＝（n+3）a n．①求证：．②求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．化简+﹣等于（）A．B．C．D．【分析】利用向量加法定理直接求解．解：+﹣＝＝．故选：A．2．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r1【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果．解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故r1＞0，r3＞0；r2＜0，r4＜0；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，因此，r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：C．3．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞0【分析】由题意可以令a＝1，b＝0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．解：利用赋值法：令a＝1，b＝0b﹣a＝﹣1＜0，故A错误；a3+b3＝1＞0，故B错误；a2﹣b2＝1＞0，故C错误；排除A，B，C，故选：D．4．已知向量＝（1，2），＝（﹣3，3），若m+n与﹣3共线，则＝（）A．B．3C．﹣D．﹣3【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列式求出的值．解：向量＝（1，2），＝（﹣3，3），则m+n＝（m﹣3n，2m+3n），﹣3＝（10，﹣7）；又m+n与﹣3共线，所以﹣7（m﹣3n）﹣10（2m+3n）＝0，化简得﹣27m﹣9n＝0，解得＝﹣．故选：C．5．将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【分析】由题意画出图形，再由测度比是长度比得答案．解：如图线段AB＝1，要使其中一段的长度小于0.2米，则满足条件的线段为AB＝0.2或CD＝0.2，∴根据概率公式可知所求的概率为＝0.4，故选：B．6．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B 两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知（）A．A＜B，S A2＜S B2B．A＞B，S A2＜S B2C．A＜B，S A2＞S B2D．A＞B，S A2＞S B2【分析】观察茎叶图数据，根据平均分，方差的定义即可判断得解．解：A班学生的分数多集中在[70，80]之间，B班学生的分数集中在[50，70]之间，故A ＞B；相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故S A2＜S B2，故选：B．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且sin2C ＝sin A sin B，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形【分析】由已知利用等差数列的性质可得C＝60°，由正弦定理可得c2＝ab，根据余弦定理可求a＝b，即可判断三角形的形状．解：由题意可知，C＝60°，c2＝ab，则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝ab，所以a＝b，所以a＝b＝c，故△ABC的形状为等边三角形．故选：C．8．已知单位向量，满足（+2）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出与的夹角θ的值．解：∵单位向量，满足（+2）⊥，设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∴（+2）•＝+2•＝1+2×1×1×cosθ＝0，求得cosθ＝﹣，故θ＝，故选：D．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣【分析】由等差数列的中项性质可得2S3＝S1+S2，再由等比数列的通项公式解方程可得q．解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2（a1+a2+a3）＝a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）＝a1（2+q），化为2q2+q＝0，解得q＝﹣（q＝0舍去），故选：D．10．若关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）A．（6，7]B．（6，7）C．[6，7）D．（6，+∞）【分析】不等式可化为（x﹣2）（x﹣m）＜0，讨论m≤2和m＞2时，求出不等式的解集，从而求得m的取值范围．解：原不等式可化为（x﹣2）（x﹣m）＜0，若m≤2，则不等式的解是m＜x＜2，不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m＞2；所以不等式的解是2＜x＜m；所以不等式的解集中4个正整数分别是3，4，5，6；则m的取值范围是（6，7]．故选：A．11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（）A．•＝﹣1B．＝+C．|++|＝D．在方向上的投影为【分析】根据平面向量数量积的性质及其运算，平面向量线性运算，模与投影的定义依次判断即可，解：由题E为AB中点，则，所以选项A错误；由平面向量线性运算得，所以选项B错误；以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设，，所以，解得：，，所以选项C错误；∵在方向上的投影为：，所以选项D正确．故选：D．12．若[x]表示不超过x的最大整数（例如：[0.1]＝0，[﹣0.1]＝﹣1），数列{a n}满足：a1＝3，a n+1﹣a n＝2n+2，则[]+[]+…+[]＝（）A．1010×2021B．1010×2020C．1009×2021D．1009×2020【分析】首先利用叠加法的应用求出数列的通项公式，进一步利用放缩法的应用和取整问题的应用进一步利用等差数列的前n项和的应用求出结果．解：当n＝2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+…+4+3＝＝n2+n+1．当n＝1时，a1＝3也满足条件．所以．所以n2＜n2+n+1＜（n+1）2，故．所以，故则[]+[]+…+[]＝1+2+3+…+2020＝．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上．13．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：年份20152016201720182019年份代码x12345年产量y（万吨） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据表格可近似得回归方程＝0.2x+，预测该地区2020年蔬菜的产量为6（万吨）．【分析】先根据所给数据求出样本中心坐标，再把其代入回归方程，求出，然后把x ＝6代入回归方程即可得解．解：由所给数据计算可得，＝＝3，＝＝5.4，把样本中心点（3，5.4）代入＝0.2x+，得：5.4＝0.2×3+，解得＝4.8，所以＝0.2x+4.8，当x＝6时，＝0.2×6+4.8＝6，所以预测该地区2019年蔬菜的产量为6万吨．故答案为：6．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+4，C＝，则△ABC的面积是．【分析】由三角形的余弦定理和面积公式，计算可得所求值．解：由C＝，可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣2ab•（﹣），化为c2＝a2+b2+ab，又c2＝（a﹣b）2+4，可得a2+b2+ab＝（a﹣b）2+3ab＝（a﹣b）2+4，则ab＝，故△ABC的面积是ab sin C＝••＝．故答案为：．15．设S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a3＝，S3＝，则a1＝2或，．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可直接求解．解：因为等比数列{a n}中，a3＝，S3＝，当q＝1时，a1＝，q≠1时，，解可得，q＝﹣，a1＝，综上，a1＝2或，故答案为：2或，16．已知实数x，y满足y≠2x，x≠﹣2y，且+＝1，则x2+y2的最小值为5．【分析】根据题意，分析可得x2+y2＝（2x﹣y）2+（x+2y）2，进而可得x2+y2＝[（2x ﹣y）2+（x+2y）2]×+＝×[4+9++]，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，x＝（2x﹣y）+（x+2y），y＝（x+2y）﹣（2x﹣y），则x2+y2＝[（2x﹣y）+（x+2y）]2+[（x+2y）﹣（2x﹣y）]2＝（2x﹣y）2+（x+2y）2，又由+＝1，则x2+y2＝[（2x﹣y）2+（x+2y）2]×+＝×[4+9++]≥×[13+2×]≥5，当且仅当2x﹣y＝x+2y时等号成立，即x2+y2的最小值为5；故答案为：5三、解答题：本大题满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab．（1）求C；（2）若a cos B+b sin A＝c，c＝，求a．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cos C，进而可求C；（2）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理即可求解．解：（1）由余弦定理可得cos C＝＝，因为C为三角形的内角，故C＝；（2）因为a cos B+b sin A＝c，由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin B sin A＝sin B cos A，因为sin B＞0，故sin A＝cos A即tan A＝1，由A为三角形内角可得A＝，因为c＝，由正弦定理可得，，所以，即a＝．18．已知f（x）＝x2﹣（3+a）x+3a．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）解关于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）a＝1时f（x）＝x2﹣4x+3，求不等式f（x）＜0的解集即可；（2）不等式化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，求出不等式对应方程的实数根，讨论a的大小，写出对应不等式的解集．解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣4x+3，不等式f（x）＜0化为x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3；所以不等式f（x）＜0的解集为（1，3）；（2）不等式f（x）≥0，化为x2﹣（3+a）x+3a≥0，即（x﹣3）（x﹣a）≥0，不等式对应方程的实数根为3和a，所以当a＞3时，不等式的解集为{x|x≤3或x≥a}；当a＝3时，不等式的解集为R；当a＜3时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥3}．19．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分）．根据调查数据制成表格和频率分布直方图．已知评分在[80，100]的居民有900人．满意度评分[40，60）[60，80）[80，90）[90，100）满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η＝，若η＜0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整．根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员．求这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率．【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a和所调查的总人数．（2）先求出满意度的平均分，进而求出满意度指数η＝，由此求出防疫工作不需要进行大的调整．（3）评分在[40，50）的居民有30人，评分在[50，60）的居民有60人，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，评分在[40，50）的居民抽取2人，评分在[50，60）的居民中抽取4人，从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，基本事件总数n＝＝15，这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内包含的基本事件个数m＝＝6，由此能求出这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率．解：（1）由频率分布直方图得：（0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a）×10＝1，解得a＝0.025．∵评分在[80，100]的频率为（0.035+0.025）×10＝0.6，评分在[80，100]的居民有900人，∴所调查的总人数n＝＝1500（人）．（2）满意度的平均分为＝45×0.002×10+55×0.004×10+65×0.014×10+75×0.020×10+85×0.035×10+95×0.025×10＝78.1，∴满意度指数η＝＝＝0.80.7＞0.8，∴防疫工作不需要进行大的调整．（3）评分在[40，50）的居民有0.002×10×1500＝30人，评分在[50，60）的居民有0.004×10×1500＝60人，从不满意的居民（评分在[40，50）、[50，60））中用分层抽样的方法抽取6名居民，评分在[40，50）的居民抽取6×＝2人，评分在[50，60）的居民中抽取6×＝4人，从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，基本事件总数n＝＝15，这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内包含的基本事件个数m＝＝6，∴这2人都是对防疫工作的评分在[50，60）内的概率p＝＝＝．20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a1＝1，S n＝．数列{b n}满足：＝2．（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出和．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列和．解：（1）设公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，当n＝2时，，所以，解得a2＝2，所以d＝1，故a n＝1+（n﹣1）＝n，所以．（2）数列{b n}满足：＝2．所以，故①，②，①﹣②得＝，所以．21．如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB＝ykm，并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式，并指出定义域；（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？【分析】（1）根据题意得AB＝y且AC＝y﹣1，在Rt△BCF中，BC＝2CF＝2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式以及函数的定义域；（2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价M＝﹣3+4x．然后换元：令x﹣1＝t，化简得到M＝16t++25，利用基本不等式算出当t＝时，M的最小值为49．由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．解：（1）∵AB＝y，AB＝AC+1，∴AC＝y﹣1．∵在Rt△BCF中，CF＝x，∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，可得BC＝2x．由于2x+y﹣1＞y，得x．在△ABC中，根据余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B，可得（y﹣1）2＝y2+（2x）2﹣2y•2x•cos60°，即（y﹣1）2＝y2+4x2﹣2xy，解得y＝．∵y＞0且x，∴x＞1．可得y关于x的函数解析式为y＝，（x＞1）．函数的定义域为（1，+∞）．（2）由题意，可得总造价M＝3[y+（y﹣1）]+4x＝﹣3+4x．令x﹣1＝t，则M＝﹣3+4（t+1）＝16t++25≥＝49，当且仅当16t＝，即t＝时，M的最小值为49．此时x＝t+1＝，y＝＝．答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．22．已知数列{a n}满足，a n+1a n﹣2a n+1+1＝0．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n+1b n＝（n+3）a n．①求证：．②求证：．【分析】（Ⅰ）由a n+1a n﹣2a n+1+1＝0⇒，证明其为等差数列，再求其通项公式，进而求得a n；（Ⅱ）①由题设条件写出b n﹣1，b n，b n+1三者的关系式，即可证明结论；②利用①中证明的结论，使用累加法求出，再利用基本不等式求证出结果．【解答】证明：（Ⅰ）由条件知：，∴，所以数列为等差数列，且首项为，公差d＝﹣1．∴，∴．（Ⅱ）①∵b n+1b n＝（n+3）a n＝n+2，∴b n b n﹣1＝n+1（n≥2），两式相减，得b n（b n+1﹣b n﹣1）＝1，∴；②由①知；利用累加法，可得＝1+b3﹣b1+b4﹣b2+b5﹣b3+…+b n+1﹣b n﹣1＝1﹣b1﹣b2+b n+b n+1（当且仅当b n＝b n+1时取等号）．。