曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,

其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：

S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S

S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I

4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
9 4 3 dS 2 3 3dxdy . 3 2 2 D xy
练习
1、计算 y dx xdy z dz ,L 是平面
Dxy
y
1 D xy如图

zdx xdy
3 ydz 2
o
D xy
1
x
例 2 计算曲线积分


( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox

右手法则
是有向曲面 的

正向边界曲线
证明
Z Y X Z Y X ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Xdx Ydy Zdz

思路
曲面积分
二重积分 1 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy Xdx Ydy Zdz x y z X Y Z
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z

n
o

y
x
1 , 即 cos cos cos 3
1 3 x y2 z2 1 3 y z2 x2 1 3 dS z x2 y2
利用斯托克斯公式得
I
S
z
S

y
d yd z d zd x d xd y x y z
y
S
2
xy
xz
o x
2
0 d y d z ( z 0) d z d x ( y 2 y) d x d y
zdzdx ydxdy
S
I zdzdx ydxdy
2 2 L
y z 2与柱面x 2 y 2 1的交线, 若从z轴的正向看, L取逆时针方向。
2、 为柱面 与平面 y = z 的交线,
从 z轴正向看为顺时针, 计算
例3. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设 S 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
Z ( x, y, z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
Z Y X Z Y X ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Xdx Ydy Zdz

斯托克斯公式
n
3 3 3 法向量： (1,1,1); cos , cos , cos 3 3 3
zdx xdy ydz dydz dzdx dxdy

cos cos cosdS 3 dS

3 1 1 1dxdy
另一种形式
cos cos cos ds Xdx Ydy Zdz x y z X Y Z 其中n {cos , cos , cos }
若记
A ( X , Y , Z ),
Z Y X Z Y X r ( , , ) y z z x x y
x
1
0
D xy
1
根据stokes公式, 有
dydz dzdx dxdy Xdx Ydy Zdz x y z X Y Z cos x X cos y Y cos ds z Z
平面方程： x y z 1

L
A d l r d S rn d S
S S
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
说明
应用:
转化 相应的简单曲 曲线积分 面上的曲面积分
对象：空间曲线的第二类曲线积分 Xdx Ydy Zdz L