,
cos f y ,
1
f
2 x
f
2 y
f
y
cos cos
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因此
P
d
x
P y
P z
cos cos
cos d S
P z
cos
P cos
y
d S
P z
d
z
d
x
P y
d
x
d
y
同理可证
Qd
y
Q d x
xd
y
Q d z
yd
z
Rd
x
R y
d
y
d
z
R x
d
zd
x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一 个,则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于 一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后 相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加 刚好抵消, 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.
在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于 z
n
一点, 设其方程为
: z f (x, y), (x, y) Dx y
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
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(4) 在G内处处有
P y
Q x
,
Q z
R y
,
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R x
P z
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证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立;
(1) (2) (自证)
(2) (3) 设函数
u(x, y, z) (x, y,z) P d x Q d y R d z (x0 , y0 ,z0 )
*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
x
i
y
j
z
k
它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
(1) 设u u(x, y, z), 则
u
u x
i
u y
j
u z
k
grad u
2u u grad u
2u x2
2u y2
2u z2
u
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三式相加即得div(grad r)
i jk
rot (grad r)
x
y
z
(0, 0, 0)
xyz rrr
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作业
P183 1 (1),(3),(4) ;
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1) (u) 0
则
u x
lim u(xx, y,z)u(x, y,z)
x0
x
lim 1 (xx, y,z) P d x Q d y R d z
x0 x (x, y,z)
lim
x0
1 x
xxx
P
d
x
lim
x0
p(x
x,
y,
z)
P(x, y, z)
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积分与路径无关, 因此
y
z
z
(x, y, z)
x d y (x y) d z o
0
0
xy (x y)z
(x,0,0)
x
xy yz zx
y
(x, y,0)
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三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
P d x Q d y R d z
例3. 验证曲线积分 ( y z) d x (z x) d y (x y)dz
与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)
(x,y,z) (0,0,0)
(
y
z)d
x
(z
x)
d
y
(x
y) d
z
解: 令 P y z , Q z x , R x y
P 1 Q , y x
Q 1 R , R 1 P z y x y
第七节
第十章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度
*四、向量微分算子
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
i jk
x
y
z
记作 rot A
PQR
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
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定义: P d x Q d y R d z A d s
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q, R 在G内
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P d x Q d y R d z 0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
点 M 的线速度为 i jk
z l M
o
r y
v r 0 0 ( y, x, 0) x
xy z
i jk
rot v
x
y z
y x 0
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(0, 0, 2) 2
(此即“旋度”一词的来源)
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斯托克斯公式①的物理意义:
o x
DxyC y
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则 P d x C P(x, y, z(x, y))d x
Dx
y
P( y
x,
y,
z(x,
y))
d
x
d
y
(利用格林公式)
n
Dx y
P P z y z y
d xd
y
z
P y
P z
fy
cos
dS
o x
DxyC y
cos
1
1
f
2 x
f
2 y
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3. 场论中的三个重要概念
设数量场 u u (x, y, z), 向量场 A (P , Q , R),
记
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
gr
,
u z
u
散度:
div
A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
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同理可证
故有
du PdxQd y Rdz
(3) (4) 若(3)成立, 则必有
u P, u Q, u R
x
y
z
因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P 2u Q y x y x
同理
Q R , R P
证毕
z y x z
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(2) A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k, 则
A
P x
Q y
R z
div A
i jk
A
x
y
z
rot A
P QR
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
Ad v An d S
( A )n d S A d s
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
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令 A (P, Q, R), 引进一个向量
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y