思考练习
第一章
1对任意图，证明。

证：，故。

2 在一次聚会有个人参加，其中任意6个人中必有3个人互相认识或有3个人互不认识。

举例说明，将6个人改成5个人，结论不一定成立。

证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人
互相认识。

则对于图中任意一个点或。

不妨设及它的3个邻点为。

若中有任意两个点，不妨设为
，相邻，则对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻，
即它们对应的3个人互不认识。

若这5个人构成的图是5圈时，就没有3个人互相认识或有3个人互不认识。

3 给定图
画出下列几个子图:
(a) ；
(b);
(c)
解：(a)
(b)
(c)
第二章
1设是一个简单图，。

证明：中存在长度至少是的路。

证：选取的一条最长路，则的所有邻点都在中，所以
，即中存在长度至少是的路。

2证明：阶简单图中每一对不相邻的顶点度数之和至少是，则是连通图。

证：假设不连通，令、是的连通分支，对，有
，与题设矛盾。

故连通。

3设是连通图的一个回路，，证明仍连通。

证：，中存在路，
1、若，则是中的路；
2、若，则是中的途径，从而中存在
路。

故连通。

4图的一条边称为是割边，若。

证明的一条边是割边当且仅当不含在的任何回路上。

证：不妨设连通，否则只要考虑中含的连通分支即可。

必要性：假设在的某一回路上，则由习题2.13有连通，，与是割边矛盾。

故不在回路中。

充分性：假设不是割边，则仍连通，存在路，则就是含的一个回路，与不在回路中矛盾。

故是割边。

5证明：若是连通图，则。

证：若是连通图，则。

第三章
1 证明：简单图是树当且仅当中存在一个顶点到中其余每个顶点有且只有一条路。

证：必要性：由定理3.1.1立即可得。

充分性：首先可见连通。

否则，设有两个连通分支、，且，
则到中的顶点没有路，与题设矛盾。

其次，中无回路。

否则，若有回路。

由于连通，到上的点有路，
且设与的第一个交点为，则到上除外其余点都至少有两条路，又与题设矛盾。

故是树。

2 设图有个连通分支，。

证明含有回路。

证：假设中不含回路。

设的个连通分支为，则每个连通无回路，是树。

从而
，
与题设矛盾，故无回路。

3是连通简单图的一条边。

证明在的每个生成树中当且仅当是的割边。

证：必要性：假设不是的割边，即连通，有生成树，与在的每个生成树矛盾。

故不是的割边。

充分性：假设存在一棵生成树，使得不在中，从而连通，与是的割边矛盾。

故在的每个生成树中。

4设是至少有3个顶点的连通图，证明中存在两个顶点，使得仍
是连通图。

证：是至少有3个顶点的连通图，有生成树，设是的悬挂点，则
连通，是的生成子图，从而连通。

5 Kruskal 算法能否用来：
1、在赋权连通图中求最大权的生成树？
2、在非连通图中求最小权的生成森林？
如果可以，写出算法。

解：1、算法：
1)在中选取边，使尽可能的大；
2)若已经选定边，则在中选取边，使满
足以下两条：
I.不含回路；
II.在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的大。

3)当2)不能继续执行时，停止。

2、算法：
1)在中选取边，使尽可能的小；
2)若已经选定边，则在中选取边，使满
足以下两条：
I.不含回路；
II.在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的小。

当2)不能继续执行时，停止。

第四章
1 设简单图是一个Euler图。

证明：中每个顶点，均有。

证：设的每个连通分支为，则每个中至少有两个点与邻。

否则的话，由于是Euler图，中每个顶点的度数为偶数。

若中只有一个点与
邻，设为，则中除了外其余点度数都是偶数，与推论1.3.2矛盾。

故每个
中至少有两个点与邻。

从而。

2 设是连通图，证明：是Euler图当且仅当存在边不交的回路，使：。

证：充分性：若中存在边不交的回路，使：。

则对中任意一个顶点，假设在个回路中，由
回路的边不相交性，有，是偶数。

又连通，由定理4.1.1，有是Euler 图。

必要性：对边数用归纳法。

当边数为1的时候，只能是一个顶点其边为环
的图，显然满足条件。

归纳假设边数时成立，现在证明边数等于时定理的必要性也成立。

由于是Euler图，无奇点且连通，故中每个顶点度至少是2。

由定理
2.1.1知中存在回路。

现将中属于的边全删去，再除去孤立点得图。

显然的每个顶点度仍然是偶数，则的每个连通分支都是无奇点的连通图，是Euler图，且边数，由归纳假设，中存在边不交的回路，使：。

则中存在边不交的回路，使：。

3找一个有10个顶点的简单图，使的每一对不相邻顶点，均有
，而不是H—图。

解：令即可
4设是连通图中某一回路，若删去中任意一条边就得到的一条最长
路。

证明回路就是的H—回路。

证：设的长度为。

反证法，假设不是连通图的H—回路，即连通，存在路，设与最后一个交点为。

在中去掉与关联的一条边，再加上路，就可以得到一条
长度至少是的路，与删去中任意一条边就得到的一条最长路矛盾。

故
，则含个点，是H—回路。

5证明：若围圆桌至少坐5个人，那么一定可以调整他们的座位，使得每个人的两侧都挨着两个新邻居。

证：构作图：以人为顶点，两个顶点相邻当且仅当他们本来不是邻居。

设
，则。

当时，可如图所示进行调换：
（按红边进行调换）
当时，有，由推论4.3.3知，图有H—回路。

按这条回路调整座位，就可以满足题目条件。

6,，则有H—路。

证：在中添加顶点，并使与中所有点都相邻，记所得图为。

则在中，
，
且，
由定理4.3.2，有H—回路就是的H—路。

第五章
1设是一个正则二分图，则必有。

证：是一个正则二分图，则。

2 是二分图。

若，则不是H—图。

证：不妨设，则，故不是H—图。

3 证明二分图有完美对集的充分必要条件是。

证：必要性：。

设二分
图的完美对集为，则在下分别与
配对，故。

充分性：由于，则。

另一方面，令
，则；令，则。

故。

从而由推论5.3.2，二分图有完美对集。

4设是简单二分图，。

证明：若，则
有完美对集。

证：，
1.若，则且；
2.若，从而。

否则，
且，与已知矛盾。

故
，即。

从而。

由推论5.3.2，二分图有完美对集。

5设是正则二分图，证明：中存在个边不交的完美对集
，使：。

证：对用归纳法。

1.当=1时，图本身可以看成是一个对集，故此时命题成立。

假设当时命题也成立，则当时，是正则二分图，由推论5.3.3，
有完美对集是正则二分图，由归纳假设，存在个边不交的完美对集，使：。

从而有存在个边不交的完美对集，使：，即命题成立。