8.6双_曲_线1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性 质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.『试一试』1. 双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是________． 『解析』由题意知y 22－x 22＝1，y ＝±x .『答案』y ＝±x2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．『解析』由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝ba，解得a 2＝20，b 2＝5.『答案』x 220－y 25＝11．待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．『练一练』1．(2013·南通三模)若双曲线x 2－y 2k＝1的焦点到渐近线的距离为22，则实数k 的值是________．『解析』焦点坐标为(±1＋k ，0)，渐近线方程为y ＝±kx ，所以由k k ＋11＋k＝22得k ＝8.『答案』82．已知F (c,0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆E ：(x －c )2＋y 2＝12c 2相切，则双曲线C 的离心率为________．『解析』依题意得，圆心F (c,0)到渐近线的距离等于22c ，即有b ＝22c (注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c 2＝2b 2＝2(c 2－a 2)，c 2＝2a 2，ca ＝2，即双曲线C 的离心率为 2.『答案』2考点一双曲线的定义及标准方程1．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．『解析』由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 『答案』22．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为________．『解析』|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－ 2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－ 2a ＝37－2 5.『答案』37－253．(2013·广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．『解析』由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1. 『答案』x 24－y 25＝1『备课札记』 『类题通法』1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．考点二渐近线与离心率问题双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度有： 1已知离心率求渐近线方程. 2已知渐近线求离心率.3已知离心率确定渐近线夹角问题.4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.角度一 已知离心率求渐近线方程1．(2013·新课标卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．『解析』∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，∴y ＝±12x . 『答案』y ＝±12x角度二 已知渐近线求离心率2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为________．『解析』因为渐近线方程为y ＝±b a x ，且过点(1,2)，所以ba ＝2，即b 2＝4a 2＝c 2－a 2，所以e 2＝c 2a 2＝5，即e ＝ 5. 『答案』5角度三 由离心率研究渐近线夹角问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．『解析』∵e ＝2，∴e 2＝2，即c 2a 2＝2，又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝1, 即ba＝1， ∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是π4.『答案』π4角度四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．『解析』∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba ＞2，∴e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＞1＋4＝ 5.『答案』(5，＋∞)『备课札记』 『类题通法』解决渐近线与离心率关系的问题方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b a 或m ＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系『典例』 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB )，求k ，m 的值． 『解』 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1， 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝2k 2－41－k 2×－2＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2. (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝21＋k 22－k 2k 2－12＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0， ∴k 2＝57或k 2＝54.又1＜k ＜2， ∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC ＝m (OA ＋OB )，得 (x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 『备课札记』 『类题通法』1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系． 『针对训练』已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．『解』设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得： y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得 a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.『课堂练通考点』1．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．『解析』令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .『答案』y ＝±34x2．(2013·苏锡常镇调研(二))若双曲线x 2－y 2a＝1(a >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则此双曲线的方程为________．『解析』因为c 2＝1＋a ，所以双曲线的焦点坐标为(±1＋a ，0)，渐近线方程为y ＝±a x ，故3＝a ·1＋a 1＋a＝a ，所以a ＝3.则双曲线的方程为x 2－y 23＝1.『答案』x 2－y 23＝1 3．(2014·常州统考)已知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则b 的值为________．『解析』由题意知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±b 3x ，所以tan π3＝b3，解得b＝3 3.『答案』334．(2014·南通一调)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．『解析』由已知知圆的圆心坐标为(5,0)，故双曲线的一个焦点坐标为(5,0)，从而c ＝5，于是a ＝5，b ＝25，所以该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.『答案』x 25－y 220＝15. 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．『解』(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3. 故kMF 1·kMF 2＝－1.∴MF 1⊥MF 2. ∴1MF ·2MF ＝0.法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，2MF ＝(23－3，－m )，∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0. ∴1MF ·2MF ＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。