XXXX大学2012届学士学位论文离散傅里叶变换的分析与研究学院、专业物理与电子信息学院电子信息工程研究方向数字信号处理学生姓名XX学号XXXXXXXXXXX指导教师姓名XXX指导教师职称讲师2012年4月26日离散傅里叶变换的分析与研究XX淮北师范大学物理与电子信息学院 235000摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。

离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。

本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。

在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。

仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。

关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析The Analysis and Research of Discrete Fourier TransformXXSchool of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing .This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length.Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis目次1 绪论 (1)2 DFT的基本理论 (2)2.1DFT的定义 (2)2.2DFT的隐含周期性 (2)2.3DFT的性质 (3)3 DFT的应用 (6)3.1用DFT计算线性卷积 (6)3.2用DFT对信号进行谱分析 (9)3.3用DFT进行谱分析的误差问题 (12)结论 (13)参考文献 (14)附录 (15)致谢 (18)1 绪论傅里叶变换是数字信号处理中常用的重要数字变换。

对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本文要讨论的离散傅里叶变换（即DFT）。

离散傅里叶变换之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。

更为重要的是，离散傅里叶变换有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。

所以说，离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。

DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都有着广泛的应用。

(1) 快速傅里叶变换快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。

按照DFT的定义计算一个长为n的序列的DFT需要的计算复杂度达到了，而同样长度FFT的计算复杂度仅为。

由于DFT的逆变换可以由DFT表示，所以DFT逆变换的计算同样可以由FFT完成。

FFT算法的提出，使DFT得到了广泛的实际应用。

(2) 频谱分析前面指出，DFT是连续傅里叶变换的近似。

因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。

前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。

可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。

选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。

(3)数据压缩由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。

高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。

这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。

将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号[1-2]。

2 DFT 的基本理论2.1 DFT 的定义设x(n)是一个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为：1...,,1,0)()]([)(10-===∑-=N k W n x n x DFT k X N n knN(1)(1)式即为离散傅里叶变换的表达式，其中，N 称为DFT 变换的区间长度。

2.2 DFT 的隐含周期性前面定义的DFT 变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于k nN W 的周期性，使(1)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N 。

对任意整数m ，总有：mNk N k N W W +=k,m 为整数，N 为自然数 所以(1)式中，X(k)满足：)()()()(101)(k X W n x W n x mN k X N n knN N n nmN k N===+∑∑-=-=+实际上,任何周期为N 的周期序列x ~都可以看作长度为N 的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是x ~的一个周期，即： ∑∞-∞=+=m mN n x n x )()(~ (2))()(~)(n R n x n x N =为了以后叙述方便，将(2)式用如下形式表示： Nn x n x ))(()(~=式中x((n))N 表示x(n)以N 为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n 对N 求余， 即如果：n=MN+n1， 0≤n1≤N -1， M 为整数则 ((n))N=n1如果x(n)的长度为N ，且M N n x n x N ≥=,))(()(~，则可写出)(~n x 的离散傅里叶级数表示为：∑∑∑∑∑-=--=--=-=-======1111010)(1)(~1)(~)())(()(~)(~N k knNN k knNN n kn Nkn N N n N N n kn N Wk X N W k X Nn x W n x W n x W n x k X式中)()(~)(k R k X k X N =2.3 DFT 的性质2.3.1 线性性质如果x 1(n)和x 2(n)是两个有限长序列，长度分别为N 1和N 2，且 ：)()()(21n bx n ax n y += 式中a 、b 为常数， 即N=max ［N 1, N 2］，则y(n)的N 点DFT 为:)()()]([)(21k bX k aX n y DFT k Y N +==其中X 1(k)和X 2(k)分别为x 1(n)和x 2(n)的N 点DFT 。

2.3.2 序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N ，则x(n)的循环移位定义为：)())(()(n R m n x n y N N += (3)(3)式表明，将x(n)以N 为周期进行周期延拓得到N))n ((x )n (x ~=，再将)n (x ~左移m 得到)m n (x ~+，最后取)m n (x ~+的主值序列则得到有限长序列x(n)的循环移位序列y(n),显然，y(n)是长度为N 的有限长序列。

观察图1可见，循环移位的实质是将x(n)左移m 位，而移出主值区]1N n 0[-≤≤的序列值又依次从右侧进入主值区。

“循环移位”由此得名。

由循环移位的定义可知，对同一序列x(n)和相同的位移m ，当延拓周期N 不同时，)n (R ))m n ((x )n (y N N +=则不同。

图1循环移位过程示意图2.4.3 时域循环移位定理设x(n)是长度为M （M≤N ）的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即：)n (R ))m n ((x )n (y N N += 则10)]([)()()]([)(-≤≤===-N k n x DFT k X k X W n y DFT k Y NkmM N2.4.4 频域循环移位定理频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N 等分的圆周上。