10 1 n 0
X p (k ) x p (n)W
nk N
e
n 0
4
2 j nk 10

1 e
j
2 5k 10 2 k 10
1 e
j
sin k j 2 k 2 e 5 sin k 10

5.1 离散傅里叶级数
例题5-2：对于周期序列，试证明离散傅里叶级数 只取决于周期序列中任意一个周期内的样值，与 取样的时间序号起点无关。（P17） f p (t ) Fk
X (k )
' p
n1 N 1 mn1
x p (m)W

m n1

mn1
x p (m)W
n1 1 l 0
N 1
mk N

n1 N 1 m N
mk x ( m ) W p N
X (k )
相频特性
2 k k N
0 2 0 k N
e jn e
j 2 kn N
周期序列是在时 间和频率上均为 离散的一类信号
5.1 离散傅里叶级数
例5-1：求所示周期序列的离散傅里叶级数，并画出该 周期序列的幅频特性 周期序列的周期N=10
j 2 10
WN W10 e
离散的周 期序列
Fourier级数 Fourier变换
单位圆的Z变换
频域信号 离散的非 周期序列
连续的非 周期函数 连续的周 期函数 离散的周 期序列
？
适合计算机处理
5.1 离散傅里叶级数 Fourier变换 ？？？ 离散的频谱 Fourier反变换
离散的时 域信号
周期的频谱
周期的时 域信号
5.1 离散傅里叶级数 周期性 e
jk0t F e k

5.1 离散傅里叶级数
周期序列
x p (n) x p (n rN)
Z变换
X p ( z)
n


x p ( n) z
N r
n

r n 0
( n rN ) x ( n rN ) z p
N 1
周期N 趋于无穷大
可任取一个周期
N 1 nk x p (n)WN
e j0Ts
X p (k ) n 0 主值序列
周期N
1 N 1 kn x p (n) X p (k )WN N k 0
5.1 离散傅里叶级数
幅频特性
j p ( k )
X p (k ) X p (k ) e
离散频谱
j
2 kn N
1 x ( n) 2



X (e j )e jn d

t0 T0
t0
f p (t )e jk0t dt
f p (t )
k
jk0t F e k

周期的时域信号－>离散频谱 离散的时域信号 －>周期频谱
WN e
j 2 N
主值区间
[0, N-1]
1 1 e 2 j ( k m) N 1 e N
j 2 ( k m) N N
1 , k m 0 , k m
j 2 ( N 1) n N
e
j
2 0n N
e
j
2 n N
e
j
2 2n N
…
e
5.1 离散傅里叶级数
x p ( n ) 1 (c0 e
N
j 2 0n N
第五章 离散傅里叶变换
•5.1 •5.2 •5.3 •5.4 •5.5 离散傅里叶级数 离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的基本性质 DFT与z变换间的关系 各类FT的关系
5.1 离散傅里叶级数 •1 几种傅里叶变换 •2 离散傅立叶级数 •3 周期卷积
X (e j )
n
x ( n )e
X (k )
' p rN n1 N 1 n rN n1
x p (n)W
nk N
X (k )
' p
n1 N 1 mn1
x p (m rN )W
mk N
( m rN ) k N

n1 N 1 mn1
mk Nrk x ( m ) W W p N N
e
j 2 n N
j 2 ( n rN ) N
e
j
2 n N
e
j
2 rN N
e
j
2 n N
的性质
周期为N的周期序列
归一性
正交性
单位圆上的 均匀采样
|e
j
2 n N
2
| 1
2 2
1 N 1 j N kn j N mn 1 N 1 j N ( k m) n e e e N n 0 N n 0

jn
1 x ( n) 2



X (e j )e jn d
jt
jt
1 x(t ) 2
X ( j) x(t )e


dt
d
1 Fk T0

t0 T0
t0
f p (t )e jk0t dt



X ( j)e
f p (t )
k
c1e
j2n N
... c N 1e
j
2 ( N 1) n N )
1 ck e N k 0
N 1 n 0
N 1
2 kn N
e
N 1
jk 0 t
t nTs
e jk0Ts n e
2 mn N
jk
0 2n s
e
1 Fk T0
N 1 n 0
周期N
j
周期N
2 nk N
e jn e
X (e )
j n jn x ( n ) e
j
2 kn N
X p ( k ) x p ( n )e
N 1
1 x p ( n) X p ( k )e N k 0
周期序列的z变换和傅立叶 变换不存在

r
z
N 1 n x ( n ) z p n 0
收敛域不存在
j
X p (e ) x p (n)e
n
jn
5.1 离散傅里叶级数 时域信号
连续的周 期函数 连续的非 周期函数 离散的非 周期序列
j
2 kn N
x p ( n )e
N 1
j
2 mn N
1 ck e k 0 N n 0
N 1
1 [ ck e n0 N k 0
N 1
j
2 kn N
]e
j
2 j ( k m) n N
cm
5.1 离散傅里叶级数 DFS IDFS