原系统的能控性分解为
1 0 0 1 0 x1 x1 1 2 1 0 1 u x2 0 0 1 x 0 0
由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1, 因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。
基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可 得到如下状态反馈镇定算法。
状态反馈镇定算法:
步1: 将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩 阵Pc,并可得到
A11 A12 A P APc , 0 A22
1 c
B1 BP B 0 Nhomakorabea2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为
1 0 1 0 ( A11 , B1 ) , 1 2 0 1
~ ~ ~, 设A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 A* A 11 B1 K1 本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。
第五章 线性系统综合
5.3 系统镇定
受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳 定,这样的问题称为镇定问题。
能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。
镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。
镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条 件,是对控制系统的最基本的要求; 其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设 计目标;
~ ~ ~ C CPc [C1 C2 ]
其中, c ( A11 , B1 , C1 ) 为完全能控子系统; nc ( A22 ,0, C2 )为完全不 能控子系统。
(2) 由于线性变换不改变系统的特征值,故有:
sI1 A11 | sI A || sI A | 0 A12 | sI1 A11 | | sI 2 A22 | sI 2 A22
u Kx v
使得闭环系统状态方程
( A BK ) x Bu x
是镇定的,其中K为状态反馈矩阵,v为参考输入。
对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。 定理5-3 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇 定。 证明 根据状态反馈极点配置定理5-1,对状态完全能控的系 统,可以进行任意极点配置。 因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极 点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。 故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。
1 c
~ 其中, ( A11, B1 ) 为完全能控部分, ( A22 ,0) 为完全不能控部分但 渐近稳定。
~
~ ~~ K 步2: 利用极点配置算法求取状态反馈矩阵 1 ,使得 A11 B1K1
具有一组稳定特征值。
步3: 计算原系统(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵
K [ K1 0] Pc1
表明系统不完全能控.
取能控性分解变换矩阵Pc为:
0 1 1 , Pc 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Pc1 0 0 1 1 0 1
于是可得
1 0 0 1 A Pc APc 1 2 1 , 0 0 1 1 0 1 B Pc B 0 1 0 0
最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能和 条件,如渐近跟踪控制问题等。 镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把 闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置 在期望的极点上。
为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实 部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。
例 给定线性定常系统
0 1 2 0 1 0 1 0 x 1 0 u x 1 1 1 0 1
试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.
解: 1) 对系统进行能控性分解。
rankB 0 1 1 2 2n3 AB rank 1 0 1 0 0 1 1 2
因此,通过状态(输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相 应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左 半开平面就可以实现系统镇定。
下面分别介绍基于 状态反馈
输出反馈 的2种镇定方法。
5.3.1 状态反馈镇定
线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为: 对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个状态反 馈控制律:
定理5-4 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使 系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的, 即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。 证明 (1) 若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其 按能控性分解为: ~ ~ ~ B1 A11 A12 ~ ~ 1 1 A Pc APc ~ B Pc B 0 0 A22
(3) 由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统 ( A, B, C ) 在稳定 性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对 ~ ~ ~ K KP [ K 引入状态反馈阵 c 1 K 2 ] ,可得闭环系统的系统矩阵 为
A11 A12 B1 A11 B1 K1 A12 B1 K 2 A BK K1 K 2 0 A22 0 A22 0