平方根与立方根知识点
1、平方根： （1）定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，a 叫做被开方数 （2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方根的性质：A 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B 零有一个平方根，它是零本身 C 负数没有平方根
（4）平方根的表示：一个正数 a 的正的平方根，用符号 “ 方数，2 叫做根指数，正数a 的负的平方根用符号“﹣
（4）立方根的表示：数 a 的立方根我们用符号 3 a 来表示，读作"三次根号 a"，其中 a
叫做被开方数，3 叫做根指数，3 且不能省略，否则与平方根混淆。 注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）
立方根等于本身的数有 0、1、-1.
1
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即
是
.
4、 4 的算术平方根的立方根的相反数是
.
；立方根 ；
5、已知 a, b 为实数， a 5 2 10 2a b 4 ，求 a =
；b =
.
6、若 A a2b3 a 3b 为 a 3b 的算术平方根， B a 2ab2 2 b2 3 为 a 2 b2 3 的算
术平方根，则 A+B 的平方根为
4.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：1 定义不同 2 个数不同：3 表示方法不同： 联系：①具有包含关系：
②存在条件相同： 2、立方根： 1.（1）定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，a 叫做被开立方数
（2）开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开平方。 （3）立方根的性质：A 正数有一个正立方根 B 负数有一个负立方根 C 零的立方根是零
” 表示， a 叫做被开 ”表示，a 的平方根
合起来记作“
” ， 其中“
” 读作“二次根号”，“ ”
读作“二次根号下a ” ．当根指数为2 时，通常将这个2 省略不写，所以正数a
的平方根也可记作“ ”读作“正、负根号a”.
（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平 方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互 为相反数；3)平方根等于本身的数只有 0，算术平方根等于本身的数有 0、1.
.
7、若 x 4 y 3 ， (4x 3y)3 8 ，则 (x y) 2n （n 为正整数）的值为
.
8、若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，则 x
，y
.
9、把 (x 5) 1 的根号外面的因式移到根号内得
.
5 x
11、已知 a b 3 2, b c 3 2 ，则 2(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 的值
为
.
12、设 a 10, b 7 1, c 3 2 ，则 a, b, c 的大小关系是
.
13、已知 M 101 100源自 N 99 98 ，则 M 与 N 的大小关系是
14、若 a 为自然数，b 为整数，且满足 (a 3b) 2 7 4 3 ，则 a
，b
. .
4
2．平方根说明：平方根有三种表示形式：± a ， a ，－ a ，它们的意义分别是 ：非负数 a 的平方根，非负数 a 的算术平方根，非负数 a 的负平方根。要特别注意： a ≠±
a。 3．算术平方根性质：算术平方根 a 具有双重非负性：
① 被开方数 a 是非负数，即 a≥0.
② 算术平方根 a 本身是非负数，即 a ≥0。
=|a|=
4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 （a≥0,b≥0）。
=
·
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即
=
（a≥0,b>0）。
6．开方运算：
我们知道，当 a≥0 时，│a│=a；当 a<0 时，│a│=a.
综上所述，有
a (a≥0)
a 2 =│a│=
③ 0 的平方根和算术平方根都是 0。 3、实数的有关性质 ⑴a 与 b 互为相反数〈=〉a+b=0 ⑵a 与 b 互为倒数〈=〉ab=1
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即 a ≥0
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即 a = a
⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数. 实数和数轴上的点的对应关系： 实数和数轴上的点是一一对应的关系 实数的大小比较 1． 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2． 正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 实数中的非负数及其性质
无理数 _正无理___
________ 负无理
_________
正实数
按大小
0
负实数
无限不循环小数
.常见的无理数类型
(1)一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨··· (2)看似循环而实际不循环的小数，如 0.1010010001···(相邻两个 1 之间 0 的个
数逐次加 1)。
(3)有特定意义的数，如：π=3.14159265··· (4).开方开不尽的数。如： 3, 3 5 。
-a (a<0)
(3 3)3 a(a为任何数）
（1） 两个重要的公式
3 a3 a(a为任何数）
2
7．实数
1、概念：有理数 和 无理数 统称为实数。
2、分类 按定义
正有理 _正整数___
________
有理数 0
__正分数__
________ ___
有限小数或_无限循环_小数
__负整数_
实数
__负有理_ _负分数_
3
4、在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学过的非负数有如下三种形式
⑴任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即 a ≥0 ⑵任何一个实数的平方是非负数，即 a 2 ≥0； ⑶任何一个非负数 a 的算术平方根是非负数，即 a ≥0
5、非负数有以下性质 ⑴非负数有最小值零 ⑵有限个非负数之和仍然是非负数 ⑶几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0。
二、典型例题
一、填空题：
1、 3 1 的倒数是 2
的负的平方根； 25 的算术平方根是
等于 3 的数是
； 3 27 的平方根是
；81 的四次方根是
若一个数的五次方为-32，则这个数为
.
2、若 2m 4 与 3m 1 是同一个数的平方根，则 m
.
3、设 x 为正整数，若 x 1 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数