c 1
M1( A1)M 2 ( A2 )
M1( A1)M 2 ( A2 )
A1 A2
A1 A2
9
多个概率分配数的合成规则
多个概率分配函数的正交和
定义为：
其中
M () 0, A
M ( A) c1
M i ( Ai ), A
Ai A 1 in
c 1 Mi ( Ai ) Mi ( Ai )
4
基本概率分配函数
定义1 基本概率分配函数 M M : 2 [0, 1]
设函数 M 是满足下列条件的映射： ① 不可能事件的基本概率是0，即 M () 0 ；
② 2 中全部元素的基本概率之和为1，即 M ( A) 1, A
则称 M 是 2上的概率分配函数，M(A)称为A的基本概率数， 表示对A的精确信任。
15
一个实例
假设空中目标可能有10种机型，4个机型类（轰炸机、大 型机、小型机、民航），3个识别属性（敌、我、不明）。
下面列出10个可能机型的含义，并用一个10维向量表示 10个机型。对目标采用中频雷达、ESM和IFF传感器探测， 考虑这3类传感器的探测特性，给出表5-1中所示的19个有意 义的识别命题及相应的向量表示。
16
表5-1 命题的向量表示
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
机型 我轰炸机 我大型机 我小型机1 我小型机2 敌轰炸机1 敌大型机 敌小型机1 敌轰炸机2 敌小型机2 民航机
Am Ak 1 j J
cs 1
M sj ( Am )
M sj ( Am )
Am 1 j J
Am 1 j J
14
中心式计算的步骤
② 对所有传感器的融合结果再进行融合处理，即
其中
M ( Ak ) c1
M s ( Am ), m 1,, K
Am Ak 1 sS
c M s ( Am ) Am 1sS
其中
12
多传感器多测量周期可信度分配的融合
设
表示第
个传感器在第 j( j 1,..., n) 个测
量周期对命题 Ak (k 1,, K ) 的可信度分配 ，那么 Ak 的融合 后验可信度分配如何计算呢？
传感器1 M1 j ( Ak ) 不同周期融合
传感器2 M 2 j ( Ak ) 不同周期融合
5
信任函数
定义2 命题的信任函数Bel 对于任意假设而言，其信任度Bel(A)定义为 A 中全部子集 对应的基本概率之和，即
Bel函数也称为下限函数，表示对 A 的全部信任。由概率分配 函数的定义容易得到
Bel() M () 0
Bel() M (B) B 6
似然函数
定义3 命题的似然函数PI:
0
Bel(A)
支持证据区间
Pl(A) 拒绝证据区间
拟信区间
信任度是对假设信任程度的下限估计—悲观估计； 似然度是对假设信任程度的上限估计—乐观估计。
8
5.4 D-S证据理论的合成规则
设 和 M 2是 2 上两个概率分配函数，则其正交和 M M1 M 2 定义为：
其中
M () 0, A
M ( A) c1 M1( A1)M 2 ( A2 ), A A1 A2 A
传感器S M S j ( Ak )
不同周期融合
M1( Ak )
融 M 2 ( Ak ) 合 M ( Ak )
中 心
M S ( Ak )
中心式计算方法 13
中心式计算的步骤
① 计算每一传感器根据各自 j 个周期的累积量测所获得的各 个命题的融合后验可信度分配
其中
M s ( Ak ) cs1
M sj ( Am ), m 1,, K
PI 函数称为上限函数，表示对 A 非假的信任程度，即表示对 A 似乎可能成立的不确定性度量。 信任函数和似然函数有如下关系：
PI(A) Bel(A), A A 的不确定性由下式表示
( A) PI(A) Bel(A)
对偶（Bel(A) ,Pl(A)）称为信任空间。
7
证据区间和不确定性
信任区间
3
5.3 D-S证据理论的基本概念
D-S方法与其他概率方法的区别在于： ① 它有两个值，即对每个命题指派两个不确定度量（类似但 不等于概率）； ② 存在一个证据使得命题似乎可能成立，但使用这个证据又 不直接支持或拒绝它。
下面给出几些陈 述各种组合构成幂集 2。
5 D-S证据理论方法
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域
5.3 D-S证据理论的基本概念 5.4 D-S证据理论的合成规则 5.5 基于D-S证据理论的数据融合
1
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域
• 诞生：源于20世纪60年代美国哈佛大学数学家A. P.
Dempster在利用上、下限概率来解决多值映射问题方面的 研究工作。自1967年起连续发表了一系列论文，标志着证 据理论的正式诞生。
• 形成：Dempster的学生G. Shafer对证据理论做了进一步
的发展，引入信任函数概念，形成了一套基于“证据”和 “组合”来处理不确定性推理问题的数学方法，并于1976 年出版了《证据的数学理论》，这标志着证据理论正式成 为一种处理不确定性问题的完整理论。
• 适用领域：信息融合、专家系统、情报分析、法律案件分
析、多属性决策分析，等等。 2
5.2 D-S证据理论的优势和局限性
• 优势：
满足比Bayes概率理论更弱的条件，即不需要知道先验 概率，具有直接表达“不确定”和“不知道”的能力。
• 局限性：
要求证据必须是独立的，而这有时不易满足；证据合 成规则没有非常坚固的理论支持，其合理性和有效性还存 在较大的争议；计算上存在着潜在的组合爆炸问题。
Ai 1 in
Ai 1in
10
5.5 基于D-S证据理论的数据融合
传感器1 命题的证据区间 传感器2 命题的证据区间 传感器n
命题的证据区间
证
据
融
组
合
合 最终判决规则 结
规
果
则
基于D-S证据方法的信息融合框图
11
单传感器多测量周期可信度分配的融合
设 M j ( Ak ) 表示传感器在第 j( j 1,..., J ) 个测量周期对命题 Ak (k 1,, K ) 的可信度分配值，则该传感器依据 n 个周期的测 量积累对命题 Ak 的融合后验可信度分配为