1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ）A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ）A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i=13、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数4、根式31-的值之一是（ ）Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）A z1sin 1B z 1cosC z ctg e 1D Lnz6、下列积分之值不等于0的是( ) A⎰=-123z z dzB⎰=-121z z dz C⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）A ()∑∞=+-02121n n nn z （z <1） B ()∑∞=+-01221n n n n z（z <1）C ()∑∞=++-012121n n nn z （z <1） D ()∑∞=-0221n n n n z（z <1）8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是（ ）A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-⎰dz i a zz C2cos （ ）A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是（ ）A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题（每小题2分）1、（ ）对任何复数z,22z z =成立2、（ ）若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点3、（ ）方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、（ ）z=∞是函数()=z f ()251z z -的三阶极点5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分）1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围 4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数)(z f 在区域D 内解析（2）在某一点D z ∈0有0)(0)(=z f n ，（ ,2,1=n ） 证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根 一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 i eπ654-， 2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππk i ee 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二 单选题（每小题2分，共20分）1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分）1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分 2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0 及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 （1-z <2） …6分4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分 0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题（每小题7分，共14分）1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z f n ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分 由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1）()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2）1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题（每小题2分）1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、若0<r<1，则积分()⎰==+rz dz z 1ln4、若v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，则m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s az Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分）1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ）A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导2、使22z z =成立的复数是（ ）A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z（ ）A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是（ ）A223i- B 223i --C iD i - 5、π=z 是π-z zsin 的（ ） A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点 6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=( )A 1B 2C 3D 4 7、下列函数是解析函数的为（ ）A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ）A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-⎰dz i a zz C2cos （ ）A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是（ ）A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题（每小题2分）1、（ ）幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、（ ）z=∞是函数2cos 1z z-的可去奇点 3、（ ）在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、（ ）函数()=z f zctge1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分）1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点（包括∞）处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题（每小题7分）1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，nn f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛（ 2,1=n ）的函数()z f 不存在一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 ϕ19i e，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二 单选题（每小题2分，共20分）1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分）1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 （0<i z -<2） …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =izdzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分 =[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分 被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f s a a z …5分 I=121212222-=-a a i i ππ …6分 6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z k L w 2 分 ()121212111-=-=--=k k L 所以2=k4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w6 分 五 证明题（每小题7分，共14分）1 证明： 设f(z)=u （x ，y ）+iv （x ，y ）)(z f = u （x ，y ）-iv （x ，y ）)(z f i = v （x ，y ）-i u （x ，y ） 2 分 f （z ）在D 内解析，x y y x v u v u -==, )(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分 比较f （z ）的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程 且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在 且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛（ 2,1=n ） 2分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,nn f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分 但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分。