d l d
22
求bc能达到的最大速度： 解: 设 bc 的极限速度为v，由于磁场是非均匀的， 因此要在bc上取一个线元dr ， 则其动生电动势为 R d (v B) dr
bc
因 所以
I0 0 I 0 0 I 0 B 2 r 2 (2d l r )
b dr
c
d
H dl I
M
i
0 各向同性均匀介质中: B r 0 H H
6
磁场强度：
H
B
电磁感应
1. 感应电动势
d 法拉第电磁感应定律 dt
(b)
（掌握符号规则）
动生电动势
动ab
(v B ) d l （搞清两个夹角）
d R / 2
3. 一矩形载流线圈有N匝互相绝缘的细导线绕成。矩 形边长为a和b.导线中电流为Ｉ，线圈可绕一边 oo’ 转 动．当加上均匀磁场Ｂ，且Ｂ与线圈平面成α角 时．求 (1) 线圈受到的力矩 . (2) 保持线圈电流不变， 线圈转到平衡位置时，磁场做的功． 解： O’ (1)线圈受到的力矩.
1 1 B2 wm B H ， Wm w m d V V 2 2
8
电磁场和电磁波
1.麦克斯韦方程组：
D ds dv
V
D
B 0
B ds 0
B dS E dl t s
D ( jc ) dS H dl t s
y
方向：
整个载流金属板在 P 点的磁场
B dB
dx

L 0
2 ( L d x )
0dx
o
P
x
11
d
方向：
0 d L ln , 2 d
L
2.一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴 线上一无限长直导线的电流等值反向。电流I在半圆柱 面上均匀分布。(1)求轴线上导线单位长度所受的力； (2) 若将另一无限长直导线 ( 通有大小、方向与半圆柱 面相同的电流 I) 代替圆柱面，产生同样的作用力，该 导线应放在何处？
在磁介质外部，
B 0 H
在磁介质内，
0 I 0
2 πr
B B0
B 0 r H
0 r I 0
2 πr
B r B0
即磁介质内的磁场为传导电流的磁场的 r 倍，
E (对比：电介质的 E 0 )
r
17
磁介质的磁化电流： 由于磁介质均匀，体内又无磁化电流，所以 磁化电流只出现在磁介质柱壳的内外表面。 磁介质柱壳的内表面：
0 I0 d l 0 I0 v d l ln ( ln ) d R d R
24
当bc作匀速运动时:
R
I0
b dr
FA mg
c
d
I0
d
l
r
0 I 0 d l 0 I 到
mg R v ( ) d l d l 0 I 0 ln 0 I 0 ln d d
b a O
O’O
矩形线圈的磁矩为
θ
I
B

B
m NISn
矩形受到磁力矩为
14
M m B mB sin θ NISB cos α
(2) 保持线圈电流不变，线圈转 到平衡位置时，磁场做的功． 磁场对线圈作功,表现为力矩作功
O’O
θ

A Md
或者
NISB sin d NISB 1 sin
25

t I t I e 7. 如图,真空中一长直导线通有电流 0 有一带滑动边的矩形导线框与其平行共面, 二者相 距a, 滑动边长为b,以匀速 v 滑动。若忽略线框中的 自感电动势, 并设开始时滑动边与对边重合。 求: 任意时刻t 在矩形线框内的感应电动势i 并讨论 i 的方向. I t dΦm a 解： i dt b v 建立坐标 xoy L 顺时针
B E t D H jc t
2.电磁波：
(1)性质： a. v b. c.
c
r r

1

E H
E,H同相位，且方向相垂直， E， H， K 三者满足右手 螺旋法则。
(2)传播：
we,m
1 2 1 E H 2 2 2
S EH
R
I0
d
b dr
0 I 0 1 1 dFA ( Ii I ) ( )dr 2 r 2d l r
其方向向上。
c
d
I0
l
r
0 I 0 d l 1 1 FA = dFA ( Ii I ) ( )dr 2 d r 2d l r 0 I0 ( Ii I ) d l ln d
磁场分布也是轴对称性分布的。 作圆形环路L, 由 对 r R 区，
H
的环路定理
r I 0 I 0
H d l H 2 π r I0
L
r
d R
16
L
LH d l H 2 π r I 0 I0 H 2πr 金属筒外空间各区的 B :
I0
d
l
r
0 I0 v d l 1 0 I 0 v d l 1 bc = dbc ( )dr ln 2 d r 2d l r d bc 0 I 0 v d l Ii = ln 23 R R d
电流元 ( I i I )dr 受到的安培力为
B 2r2
2

r1 o
r2
0 t
2 1
1 2 t r BS Br 0 1 2
d 1 2 d t i 0 r1 dt 2 dt
感应电流：i

r1 o
r2
i
R

0 r d t
2 1
1. 在 xy 平面内,有一宽度为 L 的无限长载流薄金属板, 沿 x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为 。 试求: x 轴上 P 点的磁感应强度的大小和方向; 解：在x处取宽度为dx的无限载流窄长条；其电流
dI dx
其在 P 点的磁感应强度为：
dB 0 dI / 2 ( L d x)
dΦm B dS BdS
0 I B 2 y
取dS,其内的磁通量为
a
o
L dS
y
I t
x
dS x dy
a+b
v
在t时刻,矩形线框内的磁通量: Φm t
i
0 I B (cos 1 cos 2 ) ( 有限长 ) 4 r
0 I B 2 r
( 无限长 ) ( 半限长 )
0 I B 4 r
2
圆电流轴线上: B
0 I
2R
sin 3 ( 方向沿轴线方向 )
( 圆电流中心 )
2R 0 I （ 为圆心角） B 4 R 载流圆柱体: B 0 I r , (r R) 2R 2 0 I 1 B , (r R) 2 r
磁矩:
( N匝 m NIS )
m IS
4. 磁力( 矩 ) 的功: W I m I (m 2 m1 )
5
四. 磁介质 磁介质中的高斯定理:
B ds ( B0 B ) ds 0
s s
磁介质中的安培环路定理:
解:(1)在半圆柱面上沿母线取 宽为dl的窄条，其电流
d
dl

dI
x R I
I I dI dl d R
它在轴线上一点产生的磁感 应强度:
y
dB
I
0 d I 0 Id dB 2 2R 2 R
方向如图
由电流分布的对称性可知： B y 0
B Bx dBx dB sin
I0 M 内 ( μr 1) H 内 ( μr 1) 2π R 内表面上的磁化面电流密度：
（μ r 1 ）I 0 j内 2π R
同理
（μ r 1 ）I 0 j外 2π （R d）
18
内外表面上的磁化面电流：
( r 1) I 0 j内 2π R I内 2π R 2π R ( r 1) I 0
2R
dt
d 方向： 0时，i为负值。即顺时针方向。 dt
d 0时，i为正值。即逆时针方向。 dt
21
6. 如图所示，两根无限长共面直导线，分别通有大 小相等、方向相反的电流 I 0 。在两导线组成的竖直 平面内对称固定两金属导轨，分别与左、右长直载 流导线相距为 d 。水平直导线 bc 长为 l ，质量为 m ， 两端套在导轨上并可无摩擦地上下滑动。两导线上 端与直流电源 和等效电阻R相连接，并与导线bc 构成回路。开始时托住bc处于图中所示位置，然后 释放导线。求： R bc能达到的最大速度; I0 c I0 b
(a )
感生电动势
感ab
B E感 d l dS t (a)
E感 : 感生电场（非保守场）
7
(b )
2. 自感和互感
L

I
M
12
I2

21
I1
dI L L dt
1 2 Wm LI 2
3. 磁场能量
dI 2 12 M dt dI1 21 M dt
/2
0
A I I NBS NBS sin α NISB(1 sin α)