5
mr(θ¨ − ϕ˙ 2sinθcosθ) = mgsinθ
mr(ϕ¨sinθ + 2ϕ˙ θ˙cosθ) = 0
⇒
dϕ˙ dt
sinθ
=
−2ϕ˙ cosθ
dθ dt
⇒ ln ϕ˙ = −2 ln sinθ
ϕ˙0
sinθ0
⇒
ϕ˙
=
ϕ˙0sin2θ0 sin2θ
⇒
θ¨ −
ϕ˙02sin4θ0 sin3θ
−
mvrcosθ m+m
v⊥ = vrsinα
⇒
v=
v−2
+
v⊥2
=
[ (m
m2 + m)2
vr2cos2α
+
vr2
sin2
α]
1 2
4
T¢ ¨¢d¢e ¤¢f "¢#
E
B
Ag
T¢
d
t
u
"¢#
vc
=
mB v mA + mB
(1)
ω = v0l
(2)
#¢B
E
=
1 2
mB
v02
(3)
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
}¢~¢"¢#¢$¢%¢&¢'
mx¨1 = −m x¨2
mg − T cosα = my¨
T sinα = m x2
¢¢Q¢¡¢£
§1.16
y = (x2 − x1)tgα
⇒
y¨
=
(m + m )m m 2 + m(m +
gtg 2 α m )tg2α
⇒ y = At2
⇒
t=
y A
=
−
2(l1 − l2)(m + msin2α) (m + m )gsinαcosα
⇒
θ
=
−mgx
+
1 mx˙ 2 2
+
1 2
k(x
−
e1)2
⇒
1 2
mx˙ 2
=
mgx
−
1 2
k(x
−
e1)2
⇒
x˙ =
2gx
−
2k m
(x
−
e1)2
2
7¢H¢I¢P
x˙ = 0 ⇒ lAD = l1 + l2 + l22 + 2l1l2
dt =
dx
2gx
−
2k m
(x
−
l1)2
¢Q¢¡¢£
⇒
T=
2l1 g
s
=
m
m +m
(l1
−
l2)
m
dv dt
+
vr
dm dt
=
mg
⇒
m(
dv dt
+
g)
=
−vr
dm dt
7
⇒ −vr ln m = v + gt
⇒
v
=
vr
ln
m0 m
−
gt
+
v0
¢¢Q¢)¢£
s=
√ vdt = v0t − 1 2gt2 − vr
t 0
ln
m0 m
dt
§hF1.ik1¢7 ¢"¢# S¢(T B("¢#FEG"(#(!($¢%(&(' S i
−
mgdm mm˙
=
vr m
dm
−
g km0
dm
⇒
v
=
−vr
ln
M m
+
g(m − m0) km0
s = vdt =
¢¢Q¢0¢£
g(m − m0) km0
−
vr
ln
m m0
dt
=
vr2 2g
(ln
m0 m
)2
+
vr k
(1
−
m m0
−
ln
m0 m
)
hFi§1.18 !¢"¢#¢$¢%¢&¢' S i
A
kx = −mx¨
8
⇒
kx2 m
|x0
=
−x˙ 2
+
v2
⇒
x˙ =
v2
−
kx2 m
x˙ = 0 ⇒
¢¢¢ !¢¢¢@ a ¢ s
v2
=
kx2 m
⇒
B
:
x=
mv2 k
x
≥
2
mg k
mAv2 k
≥
(mA + mB)g k
I
≥
(mA + mB)
mA k
g
9
2．（1）如图所示， 0 ≤ θ ≤ 4π 范围内的图
= 2mr&θ& = 2mω d (bchωt) dt
= 2mbω 2 shωt
6．取极坐标系，设 t0 = 0 时 OB = l ,则 t 时刻， r = OB = l − vt
则在 erθ 方向：
m(rθ&& + 2r&θ&) = −mg sinθ 将 r = l − vt 代入上式并化简可得：
¢¡¢£
§1.1
< 1 > ¤¢¥¢¦¢§¢¨
< 2 > ©¢¦¢§¢¨
§1 Chapter 1
mx¨ = FN
x2
x + y2
+ z2
=
x R
FN
my¨ = FN
x2
y + y2
+ z2
=
−
y R
FN
mz¨ = mg + FN
x2
z + y2
+ z2
=
mg
−
z R
FN
x2 + y2 + z2 = R2
−Fl = m(ρ¨ − ρθ˙2) = −mρθ˙2 Fθ = m(Rθ¨ + 2R˙ θ˙) = mρθ¨
x¢y q¢¢¢ "¢# s
mgsinθ = mρθ˙2 mgcosθ = mρθ¨
VT2 = 2gh2
¢Q¢¢£
⇒
h2
=
23 54
l
§1.7 @¢B < 1 > ¢
<2>
`¦¢¥§¢#¢¨ B¢E C¢s DE #(B
(l − vt)θ&& − 2vθ& = −g sinθ
8．取自然坐标系，列出质点的微分方程：
dv dt
=
c1
<1>
v2 ρ
= c2
<2>
又：
将<3>代入<1>得：
dt = ds v
ρ = ds dθ
vdv = c1ds
将<4>代入<2>得： c2ds = v2dθ 将<6>代入<5>整理得：
1 dv = c1 dθ
cosθ
=
g R
sinθ
⇒
1 2
θ˙2
−
1 2
θ˙02
=
θ θ0
ϕ˙o2sin4θ0 sin3θ
cosθdθ
+
g R
sinθdθ
¢p¢Q¢¢£
⇒
v0 =
2g h
r
§hF1.ik1¢2 j¢l¢m¢¢!(n¢o
T
B
S

ρ
7
&f
y
7
&f
x
ρyg − T = ρyy¨
¢p¢Q¢)¢£ §1. 13q `¢r !¢"¢#¢&¢' r
又 ds =
(dx)2 + (dy)2 =
a 2 (1 −
cosθ )2
+
a2
sin 2 ϑdθ
=
θ 2a sin
dθ
2
s& = 2a sin θ θ& 2
则
&s& =
2aθ&&sin θ
+ aθ&2
θ cos
<3>
2
2
将<2>、<3>式代入<1>式整理得
2aθ&&sin θ + aθ&2 cos θ − g cos θ = 0
v
c2
即：
c1 θ
v = e c2
将<7>代入<6>并利用 dr ≈ ds 得：
即为对数螺旋。
r=
1
2c1 θ
e c2
2c1
10．列出质点的微分方程：
得：
mgtgα = m v2 r
r = l sin α v = sin α gl
cosα
周期 T：
T = 2πr = 2π l cosα
v
g
12.在某一点（x,y）处的曲率半径
则考虑 0 ≤ θ ≤ 2π ，设曲线的切线与 x 轴的夹角为α ，则
dy
tgα = dy = dx
dθ
dx
= − a sinθ = −ctg θ
a(1 − cosθ )
2
dθ
则 α =θ +π 22
取自然坐标系，则在切线方向