l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适 用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) Px
Px 0 x1x
M BC ( x) Px
Px 0 0
11
③变形（ 注意：Px=0）
w( x ) U M ( x ) M ( x ) dx
余能定理
故有
i
U Pi
卡氏第二定理
卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一 荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，
Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。 6
➢用卡氏定理的注意事项
P1 P2
1 2
①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M ( x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 2EI
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
10
例5 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。
x A
Px P BC
解：求挠曲线——任意点的挠度 w(x) 没有与w(x)相对应的力，加之。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
2
例4 抗弯刚度为EI的悬臂梁如图，试按卡氏第一定理，根 据自由端已知转角 确定施加于自由端的力偶m。梁的材 料在线弹性范围内工作。
解： 梁内任一点的线应变为
y/
(1)
梁纯弯曲，挠曲线为圆弧
P 0.5 L
B A
L
C RC
O
x
w
M BC ( x) RC (L x) ③ 将内力对RC求偏导
M AB ( x) L x RC
M BC ( x) L x
RC
13
④ 变形
wC
U RC
L
M ( x ) M ( x ) dx
EI RC
变形协调条件
1 EI
0.5L
0
P(0.5L
x)(L
(L
x)
② 将内力对P求偏导
M AB ( x) 11x 3L
P
16
M BC ( x) 5(L x)
P
16
15
③ 变形
wB
U P
L
M ( x ) M ( x ) dx EI P
1 EI
0.5L 0
P(11x 16
3L
)2
dx
L P( 5 )2(L 0.5L 16
x
)2
dx
7PL3 （向下） 768 EI
② Pi 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pi的函数
③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
④ 当无与 i对应的 Pi 时，先加一沿 i n Pn 方向的 Pi ，求偏导后， 再令其为零。
7
三、线弹性变形杆的卡氏定理
U
N 2 (x) dx
M
2 n
(
x)
dx
M 2 (x) dx
16
L x O ②将内力对PA求偏导
M ( x ) x
PA
③变形
wA
U PA
L
M ( x ) M ( x ) dx EI PA
L Px2 dx PL3
0 EI
3EI
（向下）
9
求转角A。 没有与A向相对应的力（广义力），加之。
P M ①求内力 M ( x) xP M A
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
n
U Pn
L
N ( x) N ( x) dx
EA Pn
M n ( x) M n ( x) dx M ( x) M ( x) dx
L GIP
Pn
L EI Pn
8
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。
解：求挠度，建坐标系
P
EI
A ①求内力 M ( x) xPA xP
§9-2 卡氏定理
一、卡氏第一定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 ,2 , ,n 。则梁内应变能
n
U W
i 0
Pi d i
i 1
而
dU
U
i
• di
,
dW Pidi
由 dU dW
U
Pi i
卡氏第一定理
1
Pi
U
i
卡氏第一定理
卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上与某 一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。
l
4
二、卡氏第二定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 ,2 , ,n 。则梁内余能
n
U c Wc
Pi i dPi
0
(1)
i 1
而 dWc idPi ,
(2)
dUc
U c Pi
• dPi
,
(3)
由
dUc dWc
(4)
5
将(2)、(3)代入(4),
i
U c Pi
对线弹性杆件， U Uc