3)轴向拉压杆应力与应变的 关系：当应力不超过比例极 限时 或=E 胡克定律 E
E为材料拉压弹性模量
对于在l长度内E、A和FN 均为常数的拉压杆，由 FN l 和 A l 虎克定律也可以写成：
FN l l EA
EA为抗拉压刚度
例题5 等截面梁受力及尺寸如图, E=2 已知：A=500mm2， 105MPa 求：①做轴力图 ②求该轴的最大应力 ③计算该轴的总变形l AD
图36
解：1.求轴力，画轴力图
3 50KN
2
10KN
1
20KN 1
A
3
B
2
C
D
1 FN1=20KN 1
20KN
D
图37
3 50KN
2
10KN
1
20KN 1
A
3
B
2
FN2=30KN 2
2
C
D
10KN
20KN
C
D
图38
3 50KN
2
10KN
1
20KN 1
A
FN3= –20KN 3
3
B
2
C
D
50KN 3
拉压杆横截面上的应力 FN FN—横截面上的轴力 A—横截面的面积 A —横截面上的正应力 注意：与FN有相同的正负号， 拉应力为正，压应力为负。此 公式只适用于承受拉压的杆件
4)强度计算 拉压杆的强度条件：
max
FN [ ] A max
max——杆件最大工作应 力，取决于由载荷引起的 轴力和截面尺寸
图56
弯矩正负号规定：使微段产 生上凹变形 (上压下拉) 为正 使微段产生下凹变形 (上拉 下压)为负
图57
2) 建立剪力弯矩方程画剪 力弯矩图 剪力方程Fs=Fs(x)和弯矩方 程M=M(x)的建立：坐标原 点和正方向确定；由外力 情况确定分段
2.弯曲正应力的计算
求某点A的正应力，z为中 性轴 My A Iz M为A点所在横截面上对z轴 弯矩，y为A点距中性轴z的距 离。Iz 为整个横截面对中性轴z 的惯性矩
x2
2
2
图64
M O 2 0 FA M 2 M FA x2
1 1 2m
M 2 2 2m
3
FD
FB
3 2m
M2
FA x2 M M 2 0
x2 2 M 2C 4KN m x2 4 M 2 B 4KN m
A
2 F O S2
x2
2
2
图65
再取3-3截面左侧研究 (4 x3 6)
《理论力学与材料力学》 辅导答疑 (材料力学部分)
辅导老师：王凤竹
材料力学的任务是研究 构件受力以后的变形和破 坏的规律，为设计构件提 供强度、刚度和稳定性的 计算依据，力求使设计的 构件既经济又安全
杆件有四种基本变形 1、轴向拉伸或压缩 2、剪切 3、扭转 4、弯曲
材料力学对于基本变形 (拉、压、弯、扭)，强度， 刚度计算的基本步骤 ：
选择截面尺寸： 求：截面尺寸 确定许可载荷： FN = FN (Q)≤[]A 已知：[]和A 求： FN →(Q)
2、拉压杆的变形，应变和 虎克定律 1)变形：杆件沿轴线方向伸 长和缩短为变形 纵向变形：△l=l1-l 横向变形：△b=b1-b 变形正负号：伸长为正 缩短为负
2)线应变：单位长度的变形。 表示杆件的变形程度 纵向线应变 l l 横向线应变 b b 线应变的正负号规定：伸长 时为正，缩短时为负
[ ]为轴单位长度的许用 扭转角单位为°/m I 称为截面极惯性矩
P
可以利用强度条件、刚度 条件，校核轴和设计轴，但 必须同时满足强度和刚度条 件的轴才能用于安全生产
实心圆截面
4 I p D Wp D3 32 16
4 I p D (1 4 ) 32 3 W p D (1 4 )
图51
扭矩图
M1
M2
T
M3
M4
M5
x
图52
Tmax=T2=1.932KN· m发生在2-3轮之间
3.按强度条件设计轴直径
T
x
图53
16Tmax 3 16 1.932 106 d3 79.0mm [ ] 20
4.按刚度条件设计轴直径
T
x
图54
32Tmax 4 32 1.932 106 180 4 d 3 G [ ] 80 10 0.5 103 72.9mm
求：①做扭矩图 ②按强度和刚度条件校核轴
图46
MB
B
1
MC
2 2 A
MA
3
MD
1 C
3 D
MB
图47
B
T1=-MB=-954.9KN· m
MB
B
1
MC
2
2 A
MA
3
MD
1 C
3 D
MB
B
MC
C
图48
T2=-MB-MC=-1671.1KN· m
MB
B
1
MC
2
MA
3
MD
1 C
2 A
3 D
MD
图49
T
M1
M2
M3
M4
M5
x
图55
为了同时满足强度和刚度 条件选择d=80mm
三、弯曲 弯曲：当杆在包含轴线平面 内受到力偶或垂直于轴线的 外力作用时，杆的轴线由直 线变为曲线的变形为弯曲
1、内力计算和剪力弯矩图
1)用截面法计算梁的剪力 和弯矩，具体步骤与轴力 扭矩一样
剪力正负号规定：使微段产 生左上右下的搓动为正，使 微段产生右上左下搓动为负
D
T3=MD=1193.6KN· m
画出扭矩图
MB
B T B 954.9 C A 1
MC
2 2 A
MA
3
MD
1 C
3 D
1193.6


1671.1
D
x
图50
Tmax= T2 = 1671.1KN· m
强度校核：
max
Tmax 68MPa WP [ ] 100MPa
刚度校核：
max
Tmax 180 0.2 m G IP [ ] 2 m
按强度条件设计轴直径
16Tmax d3 [ ]
按刚度条件设计轴直径
32Tmax d4 G [ ]
例题7 已知转轴扭矩图，[]=20MPa
=0.5°/m G=80GPa 按强度和刚度条件设计轴的 直径
重点为正确画出各种 梁的剪力弯矩图，并 会求梁的最大正应力
3.用剪力方程和弯矩方程 画剪力图和弯矩图 剪力、弯矩方程：表示剪力 Fs、弯矩M沿梁变化规律的 方程称为剪力和弯矩方程 剪力方程用Fs＝Fs(x)表示 弯矩方程用M=M(x)表示
剪力方程和弯矩方程的建立 及用剪力方程和弯矩方程画 剪力图和弯矩图的步骤：
max
FN [ ] A max
[]—为杆件的许用应 力，取决于杆件的极限应 力和相应的安全系数。一 般由工程手册查出
拉压杆强度条件的应用： 校核强度：
max
FN [ ] A max
已知：A、[]和载荷 求是否满足强度条件
FN max A [ ] 已知：[]、载荷
n （+） n
图43
T
3)扭矩的计算及扭矩图的 作法和轴力图相似。用截 面法计算各段扭矩。
T

O

x
2、圆轴扭转时的强度和刚度 计算：
1)强度条件： max
[ ]材料在纯剪切条件下的
Tmax [ ] WP
许用剪应力
IP 式中WP 称为抗扭截面模量 R
2)刚度条件： Tmax 180 max [ ] G IP
1、外力矩和扭矩的计算 1)传动轴的外力矩M 若已知转速n转/分 功率Pk（KW）千瓦 Ps 马力=735.5N· m/s
Nk M 9.549 ( KN m) n Np M 7.024 ( KN m) n
2)扭矩符号：按右手螺旋法则 扭矩矢量的指向与截面外法线 的指向一致为正
T （+）
10KN
20KN
B
C
D
图39
轴力图为：
3 50KN 2 10KN 1
20KN
1
A FN
3
B
2
C
D
30
20
(+) x (-)
20
FN 图（KN）
图40
2.求最大应力
30 F
N
20
(+) x (-)
20
FN 图（KN）
图41
max
FN max 60 MPa A
发生在BC段
3.求出总变形
1 1 2m
M 2 2 2m
3
FD
FB
3 2m
O1
x1
x1 0 x1 2
MA 0 M1C 8KN m
图63
再取2-2截面左侧研究 (2 x2 4)
1 1 2m M 2 2 2m 3
FD
FA
Y 0
FB
3 2m
M2
FS 2 FA 4 KN
A
2 F O S2
具体计算 A M y I z 时，一般式中各项先取绝 对值求出正应力数值，再 根据M的方向及A点位置 确定应力的正负号。拉为 正，压为负。M为弯矩
max
M ymax M Iz Wz