高考理科数学第一轮专题《选修4－4》测试题&参考答案测试时间：120分钟 满分：150分1．[2016·石家庄教学质检]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A ||PB |的值．解 (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0，(2分)ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(5分)(2)将直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得t 2＋22t －3＝0，t 1t 2＝－3，(8分)故|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝3.(10分)2．[2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.(5分)于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.(7分)|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.(8分)由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.(10分)3．[2017·东北三省四市调研]在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3＋3cos φ1，y ＝3sin φ1(φ1是参数)，圆C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ2，y ＝1＋sin φ2(φ2是参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1，圆C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝α(0≤α<2π)同时与圆C 1交于O ，M 两点，与圆C 2交于O ，N 两点，求|OM |＋|ON |的最大值．解 (1)圆C 1：(x －3)2＋y 2＝3，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，(2分)故圆C 1：ρ ＝23cos θ，圆C 2：ρ＝2sin θ.(4分)(2)当θ＝α时，M 的极坐标为(23cos α，α)，N 的极坐标为(2sin α，α)，∴|OM |＋|ON |＝23cos α＋2sin α，(6分)∴|OM |＋|ON |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.(8分) ∵π3≤α＋π3<7π3，∴当α＋π3＝π2，即α＝π6时，|OM |＋|ON |取得最大值4.(10分)4．[2016·云南师大附中月考]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，直线l 与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的方程得t 2＋4t －10＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－4，t 1t 2＝－10，(3分)所以|AB |＝|t 1－t 2|＝214.(5分)(2)由极坐标与直角坐标互化公式，得点P 的直角坐标为(－2,2)，所以点P在直线l 上，中点M 对应参数为t 1＋t 22＝－2.(7分)由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离|PM |＝2.(10分)5．[2017·辽宁抚顺一模]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝at (t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 2相交于B ，C 两点，若|BC |≥23，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝12.(2分)设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )．由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ′＝2x －6，y ′＝2y ， 代入x 2＋y 2－4y ＝12中，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.(4分)(2)直线l 的普通方程为y ＝ax ， 由题意可得|3a －1|a 2＋1≤22－(3)2，(8分) 解得0≤a ≤34，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.(10分) 6．[2017·江西新余模拟]已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，且C 1与C 2相交于A 、B 两点． (1)当tan α＝1时，判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，并说明理由；(2)当α变化时，求弦AB 的中点P 的普通方程，并说明它是什么曲线． 解 (1)当tan α＝1时，将直线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，则圆C 2的圆心C 2(1,0)，半径r ＝1，(3分)则圆心C 2到直线C 1的距离d ＝2>1，则直线C 1与曲线C 2的位置关系为相离．(5分)(2)由直线C 1的方程可知，直线恒过定点Q (1,2)，弦AB 的中点P 满足C 2P ⊥QP ，故点P 到C 2Q 的中点D (1,1)的距离为定值1，(7分)当直线C 1与圆C 2相切时，切点分别记为E ，F ，则点P 的普通方程为C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y <12，表示的是一段圆弧．(10分) 7．[2017·江西南昌调研]将圆x 2＋y 2＝4每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，(2分)依题意得：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，(3分) 所以C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos t ，y ＝sin t(t 为参数)．(5分) (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＋2y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1.(6分)所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2，于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y ＝3，(8分)化为极坐标方程得4ρcos θ－2ρsin θ＝3，即ρ＝34cos θ－2sin θ.(10分) 8．[2016·贵阳一中月考]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点A 的直角坐标；(2)设B 为曲线C 上一动点，以AB 为对角线的矩形BEAF 的一边平行于极轴，求矩形BEAF 周长的最小值及此时点B 的直角坐标．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，(3分) 点A 的直角坐标为(3，3)．(5分)(2)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈[0,2π))，∴设B (3cos α，sin α)，依题意可得|BE |＝3－3cos α，|BF |＝3－sin α，矩形BEAF 的周长＝2|BE |＋2|BF |＝6＋23－23cos α－2sin α＝6＋23－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，(8分) 当α＝π6时，周长的最小值为2＋23，此时，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.(10分)9．[2017·昆明检测]已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点P (2,0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设点Q 和点G 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，(2，π)，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．解 (1)曲线C 可化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，其直角坐标方程为y 2＝8x ，(2分)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(4分) (2)将点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2的极坐标化为直角坐标，得(0，－2)，易知直线l 的倾斜角α＝π4，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫2＋22t ， 整理得t 2－82t －32＝0，Δ＝(82)2＋4×32＝256>0.(6分)设t 1，t 2为方程t 2－82t －32＝0的两个根，则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－32.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝256＝16.(8分)由极坐标与直角坐标互化公式，得点G 的直角坐标为(－2，0)，易求点G到直线l 的距离d ＝|PG |·sin45°＝4×22＝22，所以S △GAB ＝12×d ×|AB |＝12×16×22＝16 2.(10分)10．[2016·重庆一中月考]在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 1的方程是ρ＝1，将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M ，N ，切点为T .求|TM |·|TN |的取值范围．解 (1)依题，因ρ2＝x 2＋y 2，所以曲线C 1的直角坐标下的方程为x 2＋y 2＝1，所以曲线C 2的直角坐标下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，(2分)又y ＝ρsin θ，所以ρ2－2ρsin θ＝0，即曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(5分)(2)由题令T (x 0，y 0)，y 0∈(0,1]，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)． 联立C 2的直角坐标方程得，t 2＋2(x 0cos θ＋y 0sin θ－sin θ)t ＋1－2y 0＝0，(8分)由直线参数方程中t 的几何意义可知，|TM |·|TN |＝|1－2y 0|，因为1－2y 0∈[－1,1)，所以|TM |·|TN |∈[0,1]．(10分)11．[2016·吉林调研]在平面直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 1上的两点， 求1ρ21＋1ρ22的值． 解 (1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎨⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1；(3分)设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的极坐标方程为ρ＝2R cos θ，将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4代入，得R ＝1，所以圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2代入，得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，(8分) 所以1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ16＋cos 2θ4＝116＋14＝516.(10分)12．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．(3分)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(5分)(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.(7分) 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.(9分)a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.(10分)13．[2016·太原模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的直角坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解 (1)曲线C 的普通方程是x 24＋y 2＝1.(2分)当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设曲线C 上的点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(5分) (2)将⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1， 得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，解得tan 2α＝516， 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54，所以直线l 的斜率为54.(10分)14．[2017·河南开封调研]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y ＝8，圆C的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0<a <π2与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：θ＝α＋π2与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求|OP ||OM |·|OQ ||ON |的最大值．解 (1)直线l 的极坐标方程是ρsin θ＝8.(2分)圆C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝4，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(5分)(2)依题意得，点P ，M 的极坐标分别为⎩⎨⎧ ρ＝4sin α，θ＝α和⎩⎨⎧ρsin α＝8，θ＝α. 所以|OP |＝4sin α，|OM |＝8sin α，从而|OP ||OM |＝4sin α8sin α＝sin 2α2.(7分)同理，|OQ ||ON |＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22.(8分) 所以|OP ||OM |·|OQ ||ON |＝sin 2α2·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝sin 2(2α)16， 故当α＝π4时，|OP ||OM |·|OQ ||ON |的值最大，该最大值是116.(10分)15．[2016·山西名校联考]在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，过点P (－1,0)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－223t ，y ＝13t(t 为参数)，且直线l 与曲线C 分别交于点A ，B .(1)求|AB |；(2)若点Q 是曲线C 上任意一点，R 是线段PQ 的中点，过点R 作x 轴的垂线段RH ，H 为垂足，点G 在射线HR 上，且满足|HG |＝3|HR |，求点G 的轨迹C ′的参数方程并说明它表示什么曲线．解 (1)∵⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且曲线C ：ρ＝2cos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，曲线C 是圆心为(1,0)，半径为r ＝1的圆．(2分)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－223t ，y ＝13t (t 为参数)，∴直线l 的普通方程为x ＋22y ＋1＝0，(4分)∴圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|1＋8＝23， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2× 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝253.(5分) (2)由题，可得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数，φ∈[0,2π))， 设圆C 上的任意一点Q (1＋cos φ，sin φ)，则线段PQ 的中点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ，12sin φ.(6分)∵RH ⊥x 轴，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ，0. ∵点G 在射线HR 上，且满足|HG |＝3|HR |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x G ＝x R ＝12cos φ，y G ＝3y R ＝32sin φ，∴点G 的轨迹C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12cos φ，y ＝32sin φ(其中φ为参数，φ∈[0,2π))，(9分) 轨迹C ′是焦点在y 轴，长轴长为3，短轴长为1的椭圆．(10分)。