训练26 三角函数(推荐时间：75分钟)1．已知sin α＝55，α∈(0，π2)，tan β＝13. (1)求tan α的值；(2)求tan (α＋2β)的值．2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1－c 2a ＝sin (B －C )sin (B ＋C )，求 cos B 2的值．3．若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax cos ax (a ＞0)的图象与直线y ＝m (m 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列．(1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈[0，3π4]，求点A 的坐标．4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .m ＝(1,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫32－sin B sin C ，cos B cos C ，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3c .求S △ABC .5．设函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)，在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .6．(2010·福建)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．答案1．解 (1)∵sin α＝55，α∈(0，π2)， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255∴tan α＝sin αcos α＝55255＝12. (2)∵tan β＝13，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×131－(13)2＝34. ∴tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝12＋341－12×34＝2. 2．解 由已知得2a －c 2a ＝sin (B －C )sin A， ∴2sin A －sin C 2sin A ＝sin (B －C )sin A， ∴2sin A －sin C ＝2sin (B －C )，∴2sin (B ＋C )－sin C ＝2sin (B －C )，2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C ，＝2sin B cos C －2cos B sin C ，∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0，∴cos B ＝14. B 为锐角．∴cos B 2＝1＋cos B 2＝1043．解 (1)f (x )＝12(1－cos 2ax )－12sin 2ax ＝－12(sin 2ax ＋cos 2ax )＋12＝－22sin (2ax ＋π4)＋12∵y ＝f (x )的图象与y ＝m 相切．∴m 为f (x )的最大值或最小值．即m ＝1＋22或m ＝1－22.(2)又因为切点横坐标依次成公差为π2所以f (x )最小正周期为π2. 又T ＝2π|2a |＝π2，a ＞0， 所以a ＝2.即f (x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＝0，则4x 0＋π4＝k π(k ∈Z ) x 0＝k π4－π16. 由0≤k π4－π16≤34π及k ∈Z . 得k ＝1,2,3，因此对称中心点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫316π，12、⎝⎛⎭⎫716π，12、⎝⎛⎭⎫1116π，12. 4．解 因为m ⊥n ，所以32－sin B sin C ＋cos B cos C ＝0， 所以cos (B ＋C )＝－32，即cos A ＝32， 因为A 为△ABC 的内角，所以0<A <π，所以A ＝π6(2)若a ＝1，b ＝3c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以得c 2＝1，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34c 2＝34. 5．解 (1)∵f (x )＝2sin x cos 2 φ2＋cos x sin φ－sin x ＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x ＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin (x ＋φ)又∵f (x )在x ＝π处取最小值．∴sin (π＋φ)＝－1.又∵0＜φ＜π，∴φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin (x ＋π2)＝cos x . ∵f (A )＝32，∴cos A ＝32. 又∵A 是三角形的内角，∴A ＝π6. 又∵a ＝1，b ＝2，∴由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×121＝22. 又∵a ＜b ，∴B ＝π4或B ＝3π4， 当B ＝π4时，C ＝7π12； 当B ＝3π4时，C ＝π12. ∴C ＝π12或7π12. 6．解 方法一 (1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2×30t ×20×cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400图(1) ＝900(t －13)2＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103， 此时v ＝10313＝30 3. 即小艇以30 3 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2×20×30t ×cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2. ∵0<v ≤30，∴900－600t 400t2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23. 又t ＝23时，v ＝30. 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值为23. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．图(2)方法二 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇(如图(2)．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝v t .此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．图(3)(2)猜想v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，∴AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23. 据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图(3)，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上的任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中，CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ. 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ， ∴10＋103tan θ30＝103v cos θ. 由此可得，v ＝153sin (θ＋30°). 又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32. 从而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.图(4)方法三 (1)同方法一或方法二．(2)设小艇与轮船在B 处相遇．依据题意得：v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， (v 2－900)t 2＋600t －400＝0.①若0<v <30，则由Δ＝360 000＋1 600(v 2－900)＝1 600(v 2－675)≥0，得v ≥15 3.从而，t ＝－300±20v 2－675v 2－900，v ∈[153，30)． 当t ＝－300－20v 2－675v 2－900时， 令x ＝v 2－675，则x ∈[0,15)，t ＝－300－20x x 2－225＝－20x －15≥43 当且仅当x ＝0，即v ＝153时等号成立．当t ＝－300＋20v 2－675v 2－900时，同理可得23<t ≤43. 综上得，当v ∈[153，30)时，t >23. ②若v ＝30，则t ＝23. 综合①②可知，当v ＝30时，t 取最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．。