高三数学2020.4.21
试卷满分150分 考试时间120分钟
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．tan 570= （A
）3
（B
）3
-
（C
（D
）
2
2．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
3．下列选项中，说法正确的是
（A ）“2
000,0x x x ∃∈-R ”的否定是“2,0x x x ∃∈->R ”
（B ）若向量,a b 满足0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角 （C ）若22am bm ，则a b
（D ）“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件
4．已知0a >，0b >，1a b +=，若1a a α=+，1
b b
β=+，则αβ+的最小值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是
（A ）8 （B ）83
（C ）4
（D ）
43
6．函数ππ
tan()42
y x =-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=
（A ）6 （B ）5
（C ）4 （D ）3
7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
（A ）1
5
（B ）
625
（C ）
825
（D ）
25
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于
A ,
B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2， △AOB p = （A ）1 （B ）
32
（C ）2 （D ）3
9．ABC ∆中，三边的长为,,a b c ，若函数32221
()(+)13
f x x bx a c ac x =++-+有极值点，则B
∠的取值范围是
（A ）π
(0,)3
（B ）π
(0,]3
（C ）π
[,π]3
（D ）π
(,π)3
10单位正方体1111ABCD A B C D -，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是111AA A D →→
，黑蚂蚁爬行的路线是1AB BB →→
，
它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线（*N i ∈）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 （A ）1 （B （C （D ）0
二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均 数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为 ．
12．在251
(2)x x
-的二项展开式中，x 的系数为 ．（用数值作答）
13．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 ．
14．已知0,0x y >>，且21
1x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
15．函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（π
0,0,02
A ωϕ>><<
）的最大值为3，若()f x 的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，
则(1)(2)(2015)f f f +++= ．
三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
已知如图1，在Rt ABC
∆中，30
ACB
∠=︒，90
ABC
∠=︒，D为AC中点，AE BD
⊥于E，延长AE交BC于F，将ABD
∆沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A DC B
--的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B AEF
-与四棱锥A FEDC
-的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
图1 图2
17．（本小题满分14分）
已知函数
π
()sin()(0,)
2
f x x
ωϕωϕ
=+><恰好满足下列三个条件中的两个条件：
①函数()
f x的最小正周期为π；
②
π
6
x=是函数()
f x的对称轴；
③
π
()0
4
f=且在区间
ππ
(,)
62
上单调，
（Ⅰ）请指出这两个条件，说明理由，并求出函数()
f x的解析式；
（Ⅱ）若
π
[0,]
3
x∈，求函数()
f x的值域．
某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：
从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数． （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若,a b *∈N ，且6b a -=，求()P a X b 最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
19．（本小题满分14分）
已知点()1,2P 到抛物线C ：()220y px p =>准线的距离为2． （Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点，求MF NF ⋅的值．
设函数2()ln f x ax a x =--，1e
()e
x g x x =-，其中a ∈R ，e 2.718=为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：当1x >时，()0g x >；
（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立．
21．（本小题满分14分）
如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i
行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．
对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令
1
1
()()()n
n
i j i j l A r A c A ===+∑∑．
（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．。