2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2＞1}，那么（∁U A）∩B等于（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数z=对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知曲线C1：y=sin x，C2：，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（）A. 第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：66.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.8.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）=x+（x＞0）；②f（x）=ln x（0＜x＜e）；③f（x）=cos x；④f（x）=x2-1．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.曲线f（x）=xe x+2在点（0，f（0））处的切线方程为______．10.若变量x，y满足则目标函数，，，则目标函数z=x+4y的最大值为______．11.将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m行的第n个数为a m，n，如a3，2，如a3，2=15，若a m，n=2019，则m+n=______．12.已知函数f（x）=|ln x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值是2，则的值为______．13.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______．14.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切，则m的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.若数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0且2S n=+a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＞0（n∈N*），令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．16.设函数＞，＜＜的图象的一个对称中心为，，且图象上最高点与相邻最低点的距离为．（1）求ω和ϕ的值；（2）若＜＜，求的值．17.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会（）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量（百件）与该天返还点数x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程y=bx+a，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在，）和，的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率．（参考公式及数据：①回归方程y=bx+a，其中，；②．）18.如图，四棱锥P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB AD，△PBD为正三角形．且PA=2．（1）证明：平面PAB平面PBC；（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体A-CDE的体积．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（，），焦点F1（-，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．20.已知函数g（x）=a ln x，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x＜-1，或x＞1}，∁U A={x|x≤1}；∴（∁U A）∩B={x|x＜-1}．故选：C．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：==-i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．根据1=-i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：曲线C1：y=sinx，把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2：，故选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：由茎叶图的性质得：在A中，第一种生产方式的工人中，有：=75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟，故A正确；在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；在C中，这40名工人完成任务所需时间的中位数为：=80，故C正确；在D中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟，故D错误．故选：D．第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟．本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设：正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：=2；下部为：2×2×2-2=6．截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力．6.【答案】D【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若αβ，mβ，则m∥α或mα，故A错误；在B中，若m∥α，n m，则n与α相交、平行或nα，故B错误；在C中，若mα，n∥β，m n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m∥β，mα，α∩β=n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故D正确．故选：D．在A中，m∥α或mα；在B中，n与α相交、平行或nα；在C中，α与β相交或平行；由线面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】C【解析】解：直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2．∴内切圆的面积为πr2=4π，∴豆子落在内切圆外部的概率P=1-=1-，故选：C．求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y=kx，对于①，由于y=kx（x＞0）与f（x）=x+只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y=kx与f（x）=lnx（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（-1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2由），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，判断满足条件即可．本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．9.【答案】y=x+2【解析】解：f（x）=xe x+2的导数为f′（x）=（x+1）e x，可得曲线在点（0，f（0））处的切线斜率为1，切点为（0，2），可得在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+2，故答案为：y=x+2．求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．10.【答案】28【解析】解：变量x，y满足则目标函数不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x-y过点A时，z取得最大值，由，可得A（4，6）时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值4+4×6=28．故答案为：28．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+4y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11.【答案】44【解析】解：根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，其通项公式为a t=3t，由a t=2019=3t，解得t=673，前m行的数字个数和为，当m=36时，=666，当m=37时，=703，∴m=37，∵673-666=7，∴n=7，即m+n=37+7=44故答案为：44根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，可得2019是第673的数字，根据等差数列的求和公式可得m=37，即可求出n=7，问题得以及解决本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．12.【答案】e2【解析】解：∵f（m）=f（n），∴-lnm=lnn∴mn=1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间[m2，]上的最大值为2，∴-lnm2=2，则lnm=-1，解得m=，∴n=e，∴=e2，故答案为：e2．由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、lnm＜0、lnn＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题．13.【答案】-3【解析】解：D为△ABC 所在平面内一点，=-+，则：，整理得：，则：，解得：，若=λ，则：λ=-3；故答案为：-3．直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．14.【答案】-9或11【解析】解：圆x2+y2-6x-8y-m=0的圆心为（3，4），半径，若两圆外切，则，解得m=-9，若两圆内切，则，解得m=11．故答案为：-9或-11．由圆x2+y2-6x-8y-m=0，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可．本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题．15.【答案】解：（1）当n=1时，2a1=2S1=a12+a1，则a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1=-，即（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，可得a n=-a n-1或a n-a n-1=1，可得a n=（-1）n-1或a n=n；（2）由a n＞0，则a n=n，b n===（-），即有前n项和T n=（1-+-+-+…+-+-）=（1+--）=-．【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，化简计算可得所求通项公式；（2）求得b n ===（-），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．16.【答案】解：（1）由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为得∴ω=2………………………………………………………………………………………（3分）∵函数的图象的一个对称中心为，∴，∈………………………………………………………………（5分）∵＜＜∴………………………………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知：∴∴ …………………………………………………………………………（8分）∵＜＜∴………………………………………………………………………………（10分）∴cos（α+）=（cosα-sinα）=（-）=…………………………（12分）【解析】（1）根据勾股定理列方程可解得ω=2，再根据对称中心列式可解得φ；（2）根据已知等式解得sinα，再得cosα，再由和角的余弦公式可得．本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．17.【答案】解：（1）易知，，，∴==0.32，=-=1.04-0.32×3=0.08，则y关于x的线性回归方程为y=0.32x+0.08，当x=6时，y=2.00，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件…（6分）（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，由分层抽样的定义可知，解得x=2，y=4在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1，A2，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况如下：{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，A2，B3}，{A1，A2，B4}，{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，{B1，B2，B3}，{B1，B2，B4}，{B1，B3，B4}，{B2，B3，B4}共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则…（12分）【解析】（1）求出平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；（2）列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出满足条件的概率即可．本题考查了求回归方程问题，考查转化思想以及概率求值，是一道常规题．18.【答案】（1）证明：∵AB AD，且AB=AD=2，∴BD=2，又，△PBD为正三角形，∴PB=PD=BD=2，又∵AB=2，PA=2，∴，∴AB PB，又∵AB AD，BC∥AD，∴AB BC，PB∩BC=B，∴AB平面PBC，又∵AB⊆平面PAB，∴平面平面PAB平面PBC．……（6分）（2）如图，设BD，AC交于点O，∵BC∥AD，且AD=2BC，∴OD=2OB，连接OE，∵PB∥平面ACE，∴PB∥OE，则DE=2PE，由（1）点P到平面ABCD的距离为2，∴点E到平面ABCD的距离为h==，∴V A-CDE=V E-CDA=△ =×=，即四面体A-CDE的体积为．…………（12分）【解析】（1）证明AB PB，AB BC，推出AB平面PBC，然后证明平面平面PAB平面PBC．（2）设BD，AC交于点O，连接OE，点P到平面ABCD的距离为2，点E到平面ABCD的距离为h==，通过V A-CDE=V E-CDA，转化求解四面体A-CDE的体积．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为，＞＞，∵焦点F1（-，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得，即．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=-，m=3．将k=-，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（，．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由＜，＞△＞⇒k＜-．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，|x2-x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2-x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=-，（正值舍去），m=3．∴y=-为所求．【解析】（1）由题意可得．，又a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=0，解得k=-，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2-x1|=，△OAB 的面积为S===，解得k=-，（正值舍去），m=3．即可本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：（1）由f（x）=x3+x2+bx得f'（x）=3x2+2x+b因f（x）在区间[1，2]上不是单调函数所以f'（x）=3x2+2x+b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，∴-16＜b＜-5…（4分）（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-ln x）a≤x2-2x．∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x，且等号不能同时取，∴ln x＜x，即x-ln x＞0∴a≤恒成立，即a≤…（6分）令，∈，，求导得，，∈，，当x∈[1，e]时，x-1≥0，0≤ln x≤1x+2-2ln x＞0，从而f （x）≥0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴=f（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）（3）由条件，F（x）=，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，…（9分）不妨设P（t，F（t）），t＞0则Q（-t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴，∴-t2+F（t）（t3+t2）=0 （*），是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，此方程无解；…（12分）②若t＞1时，方程（*）为-t2+a ln t（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）ln t，（t＞1），则h （x）=ln t++1，显然，当t＞1时，h （x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）【解析】（1）利用函数的导数在区间[1，2]上有极值，即可得到不是单调函数，求实数b的范围；（2）利用对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，转化为a的不等式，通过函数的最值，求实数a的取值范围；（3）b=0，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，得到，通过构造函数以及函数的导数的单调性，判断方程的解从而说明三角形斜边中点在y轴上．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的应用函数的单调性以及构造法的应用，难度比较大的综合题目．。