例 17：求曲线积分 ex (1 cos y)dx e x ( y sin y)dy ，其中 C 为 0<x< ， 0<y<sinx 的正方向的围线。
C
9. 二重积分的计算 例 18：计算： xydxdy，其中 D 由 x 2+y2 1， x-y+1 0， 0 x 1 围成。
D
2
例 19：计算 I=
C
例 50：求积分值 I= [ x cos(n, x) y cos(n, y)]ds ，其中 L 为包围有界区域 D 的闭曲线， n 为 L 的外法线方向。
L
例题选讲
一、计算题 1. 全微分计算题 z2 例 1：求函数 u= x2
x2 的全微分；
y2
解 ： du=
2x z2 y2 dx
x2 y2 2
是三个坐标平面和平面
x+2y+z=1 组
成的按片光滑曲面，取外侧。 11. 求多元函数的方向导数 例 22：求函数 z=ln(x+y) 在位于抛物线 y 2=4x 上一点 (1,2) 处沿这抛物线切线上的方向导数。 例 23：在椭球面 2x2+2y2+z2=1 上求一点，使得函数 f(x,y,z)=x 2+y2+z2 在该点沿着点 A(1,1,1) 到点 B(2,0,1) 方
F(t)=
f x 2 y 2 z2 dxdydz 。
t
(1) 证明 F(t) 在 (0,+ ) 内具有二阶连续导数； (2) 求出 F/(t) 的表达式。
例 42：设函数 f(u) 具有连续的导数，且
f(0)=0
，试求
lim
t0
1 t4
f ( x 2 y 2 z 2 )dv ，其中 ： x 2+y2 +z2 t 2。
例 31：利用余元公式
B(p,1-p)=
sin p
计算积分
0
dx 1 x4
。
例 32：利用余元公式
B(p,1-p)=
sin p
计算积分
0
dx 1 x6
。
p1
( 注意 B 函数的另一形式 ： B(p,q)=
x
dx )
0 (1 x) p q
二、解答与证明题：
1. 用定义证明多元函数的极限
例 33：用极限定义证明 lim(2 x 2 3 y) 5 。 x1 y1
z
xy
解 ：令 F=z e y z-x=0 ，则
z x
z ， 2z =
z。
x(z 1)
x y x( z 1) 3
例 4：设 2x+y+3z=0 ， x+y+z=e -(x+y+z) ，求 dy ， dz 。 dx dx
解 ： dy =- 1 ， dz =- 1 。 dx 2 dx 2
3. 求抽象函数的二阶偏导数
2 y z2 x 2 x2 y2 2
dy+
2z x2 y2
dz 。
例 2：已知函数 z=z(x,y) 是由方程 x2+y2+z 2-3x=0 所确定的函数，求
解 ： dz= z dx+ z dy= 3 2x dx- y dy。
x
y
2z
z
2. 求隐函数 ( 组 ) 的偏导数
z(x,y) 的全微分。
例 3：设 x ey z ，求 2 z 。
2
z。
z
xy
例 4：设 2x+y+3z=0 ， x+y+z=e -(x+y+z) ，求 dy ， dz 。 dx dx
3. 求抽象函数的二阶偏导数
例 5： 设 u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)
，求 2u ， 2u 其中 f 具有二阶连续的偏导数；
xz
y2
例 6：设 u=f(x 2-y 2 ， exy ) ，求 2u ，其中 f 具有二阶连续偏导数。 xy
例 39：证明： F(
)=
0
arctan xdx 1 (x )2
在(-
,+ ) 内连续。
例 40：证明： F(x)=
ydy 在 (2,+
0 2 yx
) 内连续。
5. 三重积分的证明题
例 41 ： 设 一 元 函 数 f(t) 在 (0,+
) 内 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 令 t (x, y, z) x2 y2 z2 t 2 ，
向的方向导数具有最大值（不要求判别） 。 12. 曲线积分与路径无关问题 例 24：确定 的值，使曲线积分 I= (x 4 4xy )dx (6x 1y 2 5y 4) dy 与路径无关， 并计算自点 A(1,2) 到点 B(0,0)
l
的 I 值。
例 25：定常数 a，使得任何不经过 y=0 的区域上曲线积分
例 13：计算： xyzdS ， 是平面 x+y+z=1 在第一卦限中的部分。
7. 计算第二型曲面积分 例 14：求 I= (2z 2 xy)dydz (x 2 yz)dxdy ，其中 S 是圆柱面 x2+y 2=1 被平面 y+z=1 和 z=0 所截出部分的外侧。
S
例 15：计算 4xzdydz y 2 dzdx yzdxdy，其中 是平面 x=0， y=0， z=0，x=1， y=1， z=1 所围成的立方体的全表
+f 22 //
)
。
2
例 6：设 u=f(x 2-y 2 ， exy ) ，求 u ，其中 f 具有二阶连续偏导数。 xy
解 ： u =2xf 1/+y exy f 2/， 2u =2x(-2yf 11//+x exy f 12// )+(1+xy) exy f 2/+y exy (-2yf 21//+x exy f 22//)
5. 求函数的极值或条件极值
例 10：求 f(x,y)=e 2x(x+2y+2y 2) 的极值。
例 11：求抛物线 y=x2 和直线 x-y-2=0 之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分
例 12：计算 (xy yz zx)dS ，其中 S 为锥面 z
S
x 2 y 2 被曲面 x 2+y2 =2ax 所截得的部分。
x y
0 0
xy
xy (x
2 不存在。 y)
{Pn} E， Pn P0， lim Pn=P0 时， P0 是 E 的聚点。
n
例 46：讨论极限
lim
x0
x2 y x4 y 2
的存在性。
y0
8. 多元函数的可微性证明
例 47：设 f(x,y)=
2
xy
2
2
2, x
xy
2
0,
x
2
y0 ，证明 f(x,y)
6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 例 43：设 f(x,y) 是定义在 R2 上的连续函数，求证：对任意实数
c，集合 E={(x,y)|f(x,y)>c}
是开集，
F={(x,y)|f(x,y)
c} 是闭集。
例 44：证明：当且仅当存在各点互异的点列
7. 证明二重极限不存在
例 45：证明： lim
x
2
dxdy ，其中
D 由 x=2， y=x ， xy=1 所围成。
Dy10. ຫໍສະໝຸດ 斯公式与斯托克斯公式例 20：计算 I= ( y 2 z2 )dx (2z 2 x 2 )dy (3x 2 y 2 )dz ，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面 |x|+|y|=1 的交线， 从 z
L
轴正向看去， L 为逆时针方向。 例 21：计算 (x 2 y 2 z2 )dydz (1 z2 x 2 )dzdx (1 x 2 y2 )dxdy ，其中
9. 二重积分的计算
10. 高斯公式与斯托克斯公式
11. 求多元函数的方向导数
12. 曲线积分与路径无关问题
13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示
14. 应用 -- 求曲面面积 ( 二重积分 ) 或质量问题 ( 第一型曲线积分 )
15.
利用余元公式
B(p,1-p)=
sin p
，计算
0
dx 1 xn
类积分值
面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分 ( 格林公式 )
例 16：计算曲线积分
( y)e x my dx
AmB
( y)ex m dy ，其中 (y) 和 /(y) 为连续函数， AmB为连接点 A(x 1,y 1)
和点 B(x 2,y 2) 的任何路径，但与线段 AB围成的区域 AmBA的面积为已知常数 S。
证明： gn (x) f ( x, n ( x)) 在[a,b] 上一致收敛。
3. 研究含参量积分的一致收敛性
例 37：研究：
0
xy
sin ( x2
xy y
2)
dx
在[a,+
] ， a>0 的一致收敛性。
例 38：研究：
cosxdx 在
1x
[ 1 ,1] 内一致收敛性。 2
4. 证明含参量非正常积分的连续性
1. 全微分计算题
公式： du= u dx+ u dy+ u dz。
x
y
z
例 1：求函数 u= z2 x2 的全微分； x2 y2
例 2：已知函数 z=z(x,y) 是由方程 x2+y2+z 2-3x=0 所确定的函数，求
2. 求隐函数 ( 组 ) 的偏导数