第7讲 函数的图象及其应用
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．
解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.
答案 y ＝(x －1)2＋3
2．函数f (x )＝x ＋1
x 的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1
x ，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1)
3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，
则g (x )的表达式为________．
解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧
x 0＝2－x ，
y 0＝y .
∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
132－x ＝3x －2.
答案 g (x )＝3x －2
4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．
解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)
5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．
解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案 (－2,0)∪(2,5)
6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________．
解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2]
7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.
答案 (1，＋∞)
8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有
两个实根，则实数a 的范围是________．
解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实
根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 答案 (0,1] 二、解答题 9．已知函数f (x )＝
x 1＋x
. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间． 解 (1)f (x )＝
x 1＋x ＝1－1x ＋1
，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．
(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．设函数f (x )＝x ＋1
x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )． (1)求g (x )的解析式；
(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．
解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1
x －4，
∴g (x )＝x －2＋
1
x －4
. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝m ，y ＝x －2＋1
x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－
4(4m ＋9)，
∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.
当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．
解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象知(如图所示)，－1＜x ＜0，即x ∈(－1,0)． 答案 (－1,0)
2. 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )
cos x <0的解集为________．
解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0； 当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0；
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，4时，cos x <0，f (x )<0，
当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0；
当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0.
故不等式f (x )
cos x <0的解集为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－π2<x <－1，或1<x <
π2. 答案
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π2
3．(2013·宿迁模拟)已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．
解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图， 记y ＝k (x ＋1)＋1，
∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)． 记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，
即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－(－1)
＝－13，∴－1
3＜k ＜0.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13，0
二、解答题
4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．
解 f (x )＝⎩
⎨⎧
(x －2)2
－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)
－(x －2)2
＋1，x ∈(1，3) 作出图象如图所示．
原方程变形为 |x 2－4x ＋3|＝x ＋a .
于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，
由⎩⎨⎧
y ＝x ＋a ，y ＝－x 2
＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－3
4.
由图象知当a ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。