2015高考数学压轴题
1、设等比数列{}n a 的首项为12a =,公比为(q q 为正整数),且满足33a 是18a 与5a 的等
差中项;等差数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.
(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;
(Ⅱ) 若对任意*n N ∈,有
111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立,求实数λ的取值范围; (Ⅲ)对每个正整数k ,在k a 和1k a +之间插入k b 个2,得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和,试求满足12m m T c +=的所有正整数m .
2、已知函数)(),1ln()(2R a x ax x f ∈++=.
(Ⅰ)设函数)1(-=x f y 定义域为D
①求定义域D ; ②若函数)0(")1)](1ln()([)(24f cx x x x x f x x h +++
+-+=在D 上有零点,求22c a +的最小值;
(Ⅱ) 当21=
a 时,a x a
b x bf x f x g 2)1()1()1(')(2+---+-=,若对任意的[]e x ,1∈,都有e x g e
2)(2≤≤恒成立,求实数b 的取值范围;(注:e 为自然对数的底数) (Ⅲ)当[0,)x ∈+∞时,函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内,求实
数a 的取值范围.
3、设k 为正整数,若数列{a n }满足a 1=1,且 (a n +1-a n )2=(n +1)k (n ∈N*),称数列{a n }为“k 次方数列”.
(1)设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”,且数列{a n n }为等差数列,求a 4的值;
(2)设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”,且存在正整数m 满足a m =15,求m 的最小值;
(3)对于任意正整数c ,是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ,满足a p =c .
4、已知数列{}n a 满足*1()a a a =∈N ,*1210(01)n n a a a pa p p n ++++-=≠≠-∈N ,,.
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ;
(2)若对每一个正整数k ,若将
123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .
①求p 的值及对应的数列{}k d .
②记k S 为数列{}k d 的前k 项和,问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值;若不存在,请说明理由.
5、已知函数x ae x f =)(,a x x g ln ln )(-=,其中a 为常数,且函数)(x f y =和)
(x g y =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.
(1)求此平行线间的距离;
(2)若存在x 使不等式x x f m x >-)(成立,求实数m 的取值范围;
(3)对于函数)(x f y =和)(x g y =公共定义域中的任意实数0x ,我们把)()(00x g x f -的
值称为两函数在
0x 处的偏差.求证:函数)(x f y =和)(x g y =在其公共定义域内的所有偏
差都大于2.
6、已知动点()y x P ,满足11=-+-a y x ,O 为坐标原点,若PO 的最大值的取值范围为,17,217⎥⎦
⎤⎢⎣⎡则实数a 的取值范围是
7、已知数列{}n a 中,,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=
n N n a n n a n a n a n n f n 且 求函数)(n f 的最小值;
(3)设n n
n S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。
试问:是否存在关于n 的整式()n g ,使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出()n g 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。
8、已知平面上的线段l 及点P ,任取l 上的一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段
l 的距离,记为d (P ,l ).设A (-3,1),B (0,1),C (-3,-1),D (2,-1),AB l =1,CD l =2, 若),(y x P 满足),(),(21l P d l P d =,则y 关于x 的函数解析式为 . 9、已知函数d cx bx x x f +++=233
1)(,设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ,)(x f y '=为)(x f 的导函数,满足)()2(x f x f '=-'.
(1)求)(x f ;
(2)设)()(x f x x g '=,m >0,求函数)(x g 在[0,m ]上的最大值;
(3)设)(ln )(x f x h '=,若对于一切]1,0[∈x ,不等式)22()1(+<-+x h t x h 恒成立,求实数t 的取值范围.
10、已知数列{}n a 具有性质:①1a 为整数;②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时, 12n n a a +=;当n a 为奇数时,112
n n a a +-=. (1)若1a 为偶数,且123,,a a a 成等差数列,求1a 的值;
(2)设123m a =+(3m >且m ∈N),数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:123m n S +≤+;
(3)若1a 为正整数,求证:当211log n a >+(n ∈N)时,都有0n a =.。