主矩，再加上质系动量与该点速度的叉积。
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC
×vA
n
∑ LA = ρi × mivi i =1
ρi = ri - rA
ρ&i = r&i - r&A = vi - vA
∑ ∑ dLA
dt
=
n i =1
ρ&i × mivi
+
n i =1
miai = ρi × miai
F (i) i
θ
∫ θ&dθ& = ∫ (3g 2l)sinθ dθ
θ&0
θ0
θ&2 = (3g l) (cosθ0 − cosθ )
Ny
Nx = mg (9 cosθ − 6 cosθ0 ) sinθ 4
N y = mg(6 cos2 θ − 6 cosθ0 sinθ − 3sin2 θ ) 4
讨论: 杆子什么时候离开墙面?
1
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒
与应用实例
dLC dt
=
M
e C
后空翻转体180°跳水
屈体向前跳水
动量定理与动量矩定理: 外力系与动量系的因果关系
外力系 动量系
{ } F1e , F2e , L , Fne
{ } m1v 1 , m2v 2, L, mnv n
动量 定理
dp = F e dt
质心动量方程
Ny
m
d2 dt 2
(
l 2
sin θ
)
=
Nx
m
d2 dt 2
(
l 2
cosθ
)
=
Ny
−
mg
质心动量矩方程
( ) 1 12
ml
2
θ&&
=
−
N
x
(
l 2
cos
θ
)
+
N
y
(
l 2
sin
θ
)
整 θ&& = (3g 2l )sinθ
理 Nx = (ml 2)(−θ&2 sinθ +θ&&cosθ ) 得 N y = (ml 2)(−θ&2 cosθ −θ&&sinθ )
（ k 代表逆时针方向。）
取A点为随接触点（瞬心）移动的动点C*， 则
半圆盘的速度分布在每个顺时都以A的瞬时中心
，
因此关于它的动量矩： dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
vC
vC* C*
平面运动刚体对瞬心的动量矩定理:
d dt
[(IC
+
mrC2*C
)ω]
=
Me C*
(F
e
)
+
mvC
×
vC*
=
M (e) A
+ mvC × vA
取移动的瞬心C*作 A:
vC*
vC // vC*
LC* = JC*ω (顺时针方向)
ε
mg
dLC* dt
=
M (e) C*
( ) d
dt
JC ∗ ω
= M C ∗ (mg)
aC
(3mR2 2)ε = mgR
ε = 2g 3R aC = 2g 3
质心动量方程
maC = mg − FT
FT = mg / 3 结果同方法1。
m, r
r/2 aC = ?
2
例： 自重作用下沿光滑墙面下滑的刚性杆的平面运动
微分方程。
∑ m&x&C = Fx
∑ m&y&C = Fy
Nx
( ) ∑ JCε = MC F e
解：应用质心动量定理及质
mg
心动量矩定理
取广义坐标 θ
xC
=
l sinθ 2
yC
=
l cosθ 2
或Mce≠ 0，但 Mcex= 0 ,则有 Lcx= 常数。
思考题
图示机构。 t = 0，ϕ =ϕ 0,
ϕ&0 = 0 从静止 释放。
ϕ
盘作何种运动？
平放在光滑平面上圆盘的运动
F
C
aC ε =0
maC = F
dLC dt
=
M
e C
F
ε C
LC = JCω
JCε = FR
aC
JC = mR2 / 2
ε = 2F /(mR)
在角度 θ0 处静止释放瞬间， 圆盘的角加速度。
( ) θ&&(0) = −mghC sinθ0 IC + mR2 + mhC2 − 2mRhC cosθ0
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒与应 用实例
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
4
自由下落猫的转体
+
F (e) i
n
n
∑ ∑ = (vi − vA ) × mivi + ρi × Fie
i =1
i =1
=
mvC
×
vA
+
M
e A
(F
e
)
内力系对任意一点的主矩为零。
ρi
rC
∑ p = mivi = mvC
相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量 矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩。
动点 A 取质心C,有 vC // vA
1.圆柱体的运动微分方程；
2.圆槽作用的约束力；
运动学分析与受力分析
单自由度系统，N=1, q=ϕ 。
圆柱体的角速度 ω 、角加速度 ε
ε
5
解：1.圆柱体的运动微分方程
单自由度系统，N=1, q=ϕ ，
圆柱体的角速度 ω 、角加速度 ε
ε
运动学关系 vC = ( R − r )ϕ& = ωr
aCτ = ( R − r )ϕ&& aCn = ( R − r )ϕ& 2 ε = ϕ&& ( R − r ) r
（2）求出的运动量 =〉未知约束力； 利用质心的概念可以方便地计算动量、动量矩等动力学函数。 选用质心动量矩定理不容易出错！
作业题（1）7-10，（2）7-11(滑轮D无质量)
（3）7-13 (4)7-25.
例 题 刚体平面运动动力学分析
用于指压捻置于粗糙桌面上
的乒乓球，给其质心 C以初始
速度 m，r
>
3 v0 2r
,ω1 > 0,
Flx< 0，球自动返回(!)
vB
=
rω1
=
ω0r
−
3 2
v0
又滚又滑返回（！）。
一定阶段纯滚返回。
2. ω0
=
3 2
v0 r
,
vcx
=
0,
ω
1=
0
,
ω
aC
εε
球在 t1 自动停止运动。
3.
ω0
<
3 2
v0 r
, 请思考。
例 题质量m、半径 r 的匀质圆柱在半径R的 圆槽内作纯滚动。t = 0，ϕ =ϕ 0，ϕ&0 = 0 。试 求：
OC = hc
O C
mg
质心动量方程 m&x&C = F m&y&C = N − mg
A
NF
y x
质心动量矩方程
θ
ICθ&& = −F (R − hC cosθ ) − NhC sinθ
整理得系统的运动微分方程
( ) IC + mR2 + mhC2 − 2mRhC cosθ θ&&+ mRhCθ&2 sinθ = −mghC sinθ
maC = F e
∑ 主矢 F e = Fie ∑ p = mivi = mvC
动量矩 定理
dLO dt
=
M
e O
(对定点 )
dLC dt
=
M
e C
(对质心 )
∑ ( ) 主矩
M
e O
=
MO Fie
∑ LO = MO (m ivi )
∑ LC = MC (m ivi )
LO = LC + rOC × mvC
对动点的动 量矩定理
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
dLC dt
=
M
e C
例:仍出的旋转斧子
maC = mg
dLC dt
=
M
e C
(mg
)
=
0
斧子对质心的动量矩守恒：
LC = JCωk = 常数 ω = 常数
LC = LrC
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒
dLC dt
=
M
e C
若 Mce=0 ，则有 LC = 常矢量；
当刚体的动瞬心轨迹为圆时，rC*C为常数， 且 vC // vC*
这种情况下对瞬心的动量矩定理为：
(IC
+ mrC2*C )ε
=
M
e C*
(F
e
)
简单刚体的平面运动微分方程
问题1: 建立半圆盘在水平面上纯滚动的动力学方程。
问题2：计算 在角度 θ0 处静止释放瞬间， 圆盘的角加速度。 问题3：计算 在角度 θ0 处静止释放, 运动到任意角度的时候