第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。

2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。

3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。

4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。

而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。

两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。

5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。

6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。

7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。

17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。

即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。

具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。

上述动量表达式对于刚体系也是正确的。

17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。

其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。

式中(e)i i∑F 或(e)R F 为作用在质点系上的外力系主矢。

质点系动量定理的积分形式，也称为质点系的冲量定理，即 21(e)(e)21d t i i t iit −==∑∑∫p p F I质点系动量在某时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。

此式将广泛应用于求解碰撞问题。

17.2.2 动量守恒定理1. 质点系动量守恒定理当外力主矢恒等于零，即(e)R 0=F 时，质点系的动量为一常矢量。

即 112C p p ==式中1C 是常矢量，由运动的初始条件决定。

2. 质点系动量在某轴上的投影守恒质点系的动量定理实际应用时常采用投影式，即(e)(e)R (e)(e)R (e)(e)R d d d d d d x ix x iy iy y i ziz z i p F F t p F F t p F F t ⎫==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪==⎪⎭∑∑∑若外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。

即若(e)R 0x F =，于是有2C p x = 式中2C 为常量，由运动初始条件决定。

17.2.4 质心运动定理质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式：质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上外力的矢量和，即 (e)C i im =∑a F直角坐标系中质心运动定理的投影式为(e)(e)(e)C ix iC iy i C iz i mxF myF mzF ⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 式中C C C z y x,, 为质心加速度在直角坐标轴上的投影。

17.2.5 质心运动定理的守恒形式如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，即(e)(e)R 0i i==∑F F ，这时质心加速度为0=C a质心的速度为C v =C质心速度为常矢量，即系统的质心作惯性运动。

若系统初始为静止状态，则0=C v ，质心的位矢1C r =C 为常矢量 ，质心保持静止，即质心守恒。

如果外力主矢在某一坐标轴（例如x 轴）上的投影为零，即(e)(e)R 0x ix iF F ==∑则有0=Cx a 2C v Cx =质心速度在某一坐标轴（例如x 轴）上的投影为常量，这表明：质心速度在这一坐标轴（例如x 轴）方向上守恒。

这时，如果系统初始为静止状态，则v Cx = 0,这表明质心在x 轴方向上守恒。

17.2.6 动量定理的应用动量定理应用的要点是：1) 内力不能改变质点系的动量和质心的运动，因此当质点系内力情况比较复杂而所要求解的问题是质点系整体的运动时，多用动量定理求解。

但内力能改变质点系内各质点的动量，当所要求解的问题是内力时，可将质点系拆开，选择式中的某部分作为研究对象，使内力转化为外力。

2) 质心运动定理是质点系动量定理的另一种表达形式，是在动量定理中最常用的。

当刚体作平移时，质心的运动可以代替整个刚体的运动，若将质心看成是集中了质点系全部质量和所有外力的质点，则应用质心运动定理解题时，实际与应用牛顿第二定律求解质点动力学问题相类似；当刚体作复杂运动时，可以将它的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动，其平移部分可以用质心的运动来描述；其绕质心的相对转动部分可用其他定理来描述。

3) 外力系简化结果中的主矢量将会改变质点系的动量或质心的运动。

若当外力主矢等于零时，则质点系动量守恒或质心作惯性运动。

由于动量定理是一矢量表达式，在应用时采用投影式，故在进行受力分析时，特别要注意外力主矢在某一方向的投影是否等于零，以便决定是否可应用动量或质心守恒定律。

17.2.7 质点系动量矩的概念与计算质点系的动量矩是质点系中各质点的动量对点O 之矩的矢量和，即i i i iO m v r L ×=∑质点系的动量矩即是动量系的主矩，动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心O 上。

动量矩是度量质点系整体运动的又一基本特征量。

17.2.8 质点系动量矩定理质点系相对定点的动量矩定理：质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩，即(e)d d O Ot=L M 如果不作特殊说明，则所提到的动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。

17.2.9 动量矩定理的其他形式上式称为动量矩定理的微分形式。

除此而外，动量矩定理还有其他几种常用形式：1. 动量矩定理的积分形式(e)0d nni i ii i i i i iim m t τ×−×=×∑∑∫'r v r v r F或(e)210d O O i i t τ−=×∫L L r F2. 动量矩定理的投影形式比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。

因此将动量矩定理微分形式表达式中的各项，投影到过固定点O 的直角坐标系Oxyz 上，得到(e)(e)(e)d d d d d d x xyy z z L M tL M t L M t ⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴的动量矩定理。

17.2.10 质点系动量矩守恒定理在动量矩定理微分形式表达式中，若外力矩(e)0O =M ，则质点系对该点的动量矩守恒，即 C L =O式中，C 为常矢量。

在动量矩定理的投影形式的表达式中，当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。

例如(e)0x M =，则有1C L x = 式中,1C 为常数。

17.2.11 质点系相对质心的动量矩根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩 i i i C m v r L ×′=∑ =r i i i m v r ×′∑计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对速度结果都是一样的。

对于一般运动的质点系，通常可分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用第二个等号后的表达式计算质点系相对质心的动量矩更方便些。

质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在确定的关系，即L r v L O C C C m =×+17.2.12 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对固定点的动量矩定理: 质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩(e)d d nCi i it ′=×∑L r F或(e)d ()d n CC i it =∑L M F 质点系相对质心的动量矩定理在形式上与质点系相对固定点的动量矩定理完全相同。

需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定是平移坐标系。

定理只适用于质心这个特殊的动点，对其他动点，定理将出现附加项。

对刚体而言，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系；二者完全确定了刚体一般运动的动力学方程，这是研究刚体运动的基础。

17.2.13 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程z z M J =α或z z J M ϕ=式中，ϕ为刚体绕轴转动的转角；z J 为刚体对轴z 的转动惯量。

17.2.14 刚体平面运动微分方程将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。

当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为 ωC C J L =式中，C J 为刚体对通过质心C 且与运动平面垂直的轴的转动惯量，ω为角速度。

当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理 ，得到刚体平面运动的微分方程：(e)(e)d(()d nC i inC C C i i m J J M t ωα⎫=⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑a F )F 或直接写成投影式()(e)(e)(e)C x C y C C i mxF myF J M ϕ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑F 需要指出的是，如果上述方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。

因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例——平衡情形的静力学描述。

17.2.15 动量矩定理的应用动量矩定理应用的要点是：1) 与动量定理相同的是内力也不能改变质点系的动量矩，因此对于内力情况比较复杂而又包含转动的质点系动力学问题，可以考虑用动量矩定理（或由它导出的刚体定轴转动微分方程，刚体平面运动微分方程）求解，而无需考虑内力。

2) 质点系的动量定理描述了质点系总体运动的一个侧面，即随质心的运动，对于刚体则描述了在外力主矢的作用下其随质心平移的运动规律。