Lx Ly Lz
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m (y v
i
n
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i
i 1 n
i ix
m (x v
i i 1
i 1 n
i iy
质点系对于各轴的动量矩为代数量，采用右手定则：右 手握拳，四指与动量矩的转向一致，拇指指向与坐标轴正 向一致者为正，反之为负。
相对质心的动量矩定理
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质点系相对质心的动量矩 质点系相对质心的动量矩定理
相对质心的动量矩定理
e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0 n n

LO 2 LO1 ri Fi e dt
0

动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式
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e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0
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范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
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清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学
课堂教学软件(17B)
2016年9月6日
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第三篇 运动学与动力学

i
d (ri mi v i ) ri Fi e ri Fi i dt i i
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注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现的 特点，上式可简化为 d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
e Mx 0
Lx C1
其中C1 为常数。
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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？
谁最先到
达顶点
第17章B 动量定理和动量矩定理
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相对质心的动量矩定理
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相对质心的动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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2． 平行移轴定理
J z J z C md 2
上述关系称为平行移轴定理，它表明，刚体对任一轴 z的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴z平行的轴 zC的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘 积。
第17章B 动量定理和动量矩定理
动量矩定理及其守恒形式
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动量矩定理积分形式
动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式Fra bibliotekd ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
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d LO e MO dt
将上述二式积分，得到
质点与刚体的动量矩
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刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计 算时还要特别说明以下两点：
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1． 回转半径（或称惯性半径）
刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为
第17章B 动量定理和动量矩定理
几个有意义的实际问题 质点与刚体的动量矩 动量矩定理及其守恒形式 相对质心的动量矩定理 刚体定轴转动微分方程与 平面运动微分方程 动量和动量矩定理在碰撞中的应用 结论与讨论
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参考性例题
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第17章B 动量定理和动量矩定理
e
LO C
这表明质点系对该点的动量矩守恒
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式 当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。 TSINGHUA UNIVERSITY
例如
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
z
Jz m
若已知刚体对某轴z的回转半径ρz和刚体的质量m，则其转 动惯量可按下式计算
2 J z m z
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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1． 回转半径（或称惯性半径）
Jz
2 m z
z
Jz m
即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转A半径平 方的乘积。 上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并 令该质点对于z轴的转动惯量等于物体的转动惯量， 则质点到z轴垂直距离即为回转半径。
工程力学
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第三篇 运动学与动力学
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第17章B 动量定理和动量矩定理
第17章B 动量定理和动量矩定理
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动量定理和动量矩定理在数学上同属于一类方程，即 矢量形式的微分方程。而质点系的动量和动量矩，可以理 解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量 ——动量 系的主矢和主矩。二者对时间的变化率分别等于外力系的 两个基本特征量——力系的主矢和主矩。 本章主要研究质点系的动量矩定理和刚体平面运动微分 方程。
质点与刚体的动量矩
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刚体的动量矩
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
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作为特殊质点系的刚体，其动量矩与 刚体的运动形式有关。
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
平移刚体对O点的动量矩
设平移刚体的总质量为m，由于其运动特征是刚体上每 一质点的速度均相等，即vi=v，则有
这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴 的动量矩定理
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的守恒形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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d LO e MO dt
若外力矩
MO 0
则质点系对该点的动量矩为常矢量
n
n

LO 2 LO1 ri Fi e dt
0

以上二式均为质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介 绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的投影形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的投影形式
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点 之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
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d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
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LO
r m v ( r m ) v mr
i i i i i i 1 i 1
n
n
C
v rC mv
这一结果表明，平移刚体可以看成是一质量集中在质心处的质 点，只要确定刚体质心的矢径rC，即可应用上式确定平移刚体 对O点的动量矩。
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几个有意义的实际问题
返回
几个有意义的实际问题
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？
谁最先到
达顶点
几个有意义的实际问题
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？
的直升飞
机是怎么 飞起来的
没有尾桨
第17章B 动量定理和动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
返回
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩 刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩
质点与刚体的动量矩
质点系的动量矩
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
2． 平行移轴定理
若已知物体对于过质心轴的转动惯量，则可通过下列公式计 算出对其他平行轴的转动惯量：
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J z J z C md 2
式中 Jz表示刚体对任一轴z的转动惯量； JzC 为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量； m为刚体的质量； d为z与zC轴之间的距离。
这一结果表明，质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩 。这就是质点 系 相 对 定 点 的 动 量 矩 定 理 (theorem of the moment of momemtum with respect to a given point)。以后如不特别说明 ，则动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。
J z mi ri
i
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i
i
2
Jz称为刚体对轴z的转动惯量(moment of inertial)。