因式分解的应用
一、知识体系
1. 因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础．现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面都有广泛的应用；同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。

其应用主要体现在以下几个方面：
①．整体代换，代数式变形求值问题；
②．简化复杂的数值计算，利用因式分解找可以相消，凑整的部分；
③．证明数论相关问题，通过因式分解进行倍数、约数的分析；
④．解决几何问题，特别是三角形三边关系的恒等变形与证明．
2. 有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应该熟悉这些结果，记住一些常用公式，有助于我们快速解题：
①1(1)(1)ab a b a b +++=++，1(1)(1)ab a b a b --+=--；
②4224(22)(22)x x x x x +=-+++，42241(221)(221)x x x x x +=-+++；
③2222
2()()a b c ab bc ca a b c +++++=++；
④3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---.
二、例题讲解
例1.计算： （1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）32
322017220172015201720172018-⨯-+-
1.1 设322320162015(20162017)2015(20142013)2014a -⨯+=⨯--，3223
20172016(20172018)2016(20152014)2015b -⨯+=⨯--，则a ，b 的大小关系为（ ）
A. a b >
B. a b =
C. a b <
D. 无法确定
1.2 设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结
果是( )
A ．5814
B ．5841
C ．8415
D ．845l
1.3 化简3333333333(21)(31)(41)(991)(1001)(21)(31)(41)(991)(1001)
---⋅⋅⋅--+++⋅⋅⋅++的值最接近于（ ） A ．
12 B ．13 C ．23 D.58
1.4 计算：4444444444(764)(1564)(2364)(3164)(3964)(364)(1164)(1964)(2764)(3564)++++++++++
例2. 已知323122
N n n n =+
+，求证： （1）对于任何自然数n ，N 都是整数；（2）对于任何自然数n ，N 都是3的倍数．
2.1 已知2471-可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )
A ．41，48
B ．45，47
C ．43，48
D ．4l ，47
2.2 对于一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是_________
2.3 对于一个自然数，如果能找到非零自然数m 和n ，使得P m n mn =++，则称P 为一个 “好数”， 如3=1+1+1⨯1，则3 是一个“好数”.那么在1、2、…、46这46个自然数中，“好数”一共有_______个．
2.4 （1）已知a 是正整数，且3221215a a a +-+表示质数，则这个质数是_________．
（2）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，则n 的值是____________．
（3）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明 .
例3. 求方程64970xy x y +--=的整数解.
3.1
整数a ，b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=__________．
3.2
设正整数,m n 满足896m n mn +=+，则m 的最大值为 _________.
3.3
设a 为整数. 若存在整数b 和c ，使()(15)25()()x a x x b x c +--=++,则a 可取的值为_______．
3.4
关于,x y 的方程11112011
x y xy ++=的正整数解(,)x y ，共有 _______ 组．
例4. 求方程2224x xy y --=的正整数解．
4.1 求方程22
2522006x xy y ++=的所有正整数解．
4.2 已知,,a b c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于_________．
4.3 求方程22278x xy y x y +--+=的正整数解．
例5. 已知一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，且它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与 宽分别是多少？
5.1 正整数a ，b ，c 是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（ ）
A.1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
5.2 长方形的周长为16，它的两边,x y 是正整数，且满足
22220x y x xy y --+-+=，求它的面积.
5.3 一个长方体的棱长为整数，且其体积、表面积、棱长的和为2001，求该长方体的三边长．
【巩固训练】
1. 已知实数,a b 满足条件222241a b a b ab ++=-，则（ ）
A ．11a b =⎧⎨
=⎩ B ．11a b =⎧⎨=⎩
或11a b =-⎧⎨=-⎩ C ．11a b =-⎧⎨=⎩ 或11a b =⎧⎨=-⎩ D ．11
a b =⎧⎨=-⎩
2. 数,a b 满足关系式1a b ab +-=，已知a 不是整数，则（ ） A ．b 也不是整数 B ．b 一定是正整数
C ．b 是负整数
D ．b 是偶数
3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ___ ．
4．已知三个质数m 、n 、p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++=_________.
5. 自然数,x y 满足
987x y
+=，则x y +=_______．
6．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+c+a=3，则（a+1）(b+1)(c+1)=____________.
7. 求方程2008x y xy ++=的正整数解．
8. 一个正整数，若加上100 是一个完全平方数；若加上168 ，则是另一个完全平方数，求这个正整数.
9．已知,,a b c 都是正整数，且满足293031366a b c ++=，则a b c ++的值为 ___________ ．
10．方程221000x y x y +=-的正整数解为___________
11. 计算：
（1）)
41
9)(417)(415)(413)(41
1()
41
10)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++
（2）4242424242
4242424242(221)(441)(661)(881)(10101)
(331)(551)(771)(991)(11111)++++++++++++++++++++。