电位确定值(电位差)
两点间电位差有定值
选择电位参考点的原则: 应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点 电位参考点电位一般为0；
二、电位函数的求解
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点电荷的电位
v E
q
40r 2
evr
vQ
Q v v P' Q v v
S
Ev(rv)g(4
r2
evr)0
Q
0
v E
Q
4 0 r 2
evr
r
Ñ 在球内区域：ra
Q 3Q
Ev(rv)gdSv
V 4 a3 S
Q
0
Ev(rv)g(4 r2
v E
Qr
4 0 a3
evr ) evr
4 r3
3
0
3.2 电位函数
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一、电位函数与电位差
电位函数
v
E 0
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补充内容：利用高斯定理求解静电场
Ñ Ev(rv)gdSv 1 (rv)dV Q
S
0 V
0
求解的关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
1）场点位于高斯面上；
2）高斯面为闭合面；
3）在整个或分段高斯面上，Ev
或
vv EgdS
为恒定值。
只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用
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真空中静电场性质小结：
微分形式
积分形式
gEv(rv) (rv)
Ev(rv)
0
0
ÑS Ev(rv)gdSv
ÑC
Ev(rv)
0
Q
0
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。
静电场的源：电荷
讨论：对静电场，恒有：
Ev(rv) 0
v
Q () 0 E
为标量函数
静电场可以由一标量函数的梯度表示。
亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质， 因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理
真空中静电场的散度
可以证明：真空中静电场的散度为
gEv(rv)
0
(rv)
0
rv处无电荷
rv处电荷密度为 (rv)
静电场高斯定理微分形式
说明：1)电场散度仅与电荷分布相关，其大小 (rv)
evl为增加最快的方向
v
E
B
v E
l
evl
vv
d Egdl
Bv v
A
Av v
AB B位差为：
Av v
B A
Egdl
B
关于电位差的说明
意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过 程中电场力所作的功。
两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无 关
v E
l 2 0 r
evr
l l 0
r v E
2）解为球坐标系下的表达形式。
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v gE
g( g(
Q
4 0 r 2
Qr
4 0 a3
evr evr
) )
(r a) 0 (r a)
(r
a)
1
r2
r
(r 2
Qr
40a3 )
(r a)
v gE
0
3Q
40a3
0
3）
v E
Q
4
Q
0
40a3
( rv
1 r
)
0
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例 半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。
求：（1）Ev(rv) （2）gEv(rv) （3） Ev(rv)
分析：电场方向垂直于球面。
r
电场大小只与r有关。
a
解：1) 取如图所示高斯面。
在球外区域：ra
Ñ Ev(rv)gdSv Q
() 0
引入电位函数
：Ev
v E
可由一标量函数表示。
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；
“－”表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中
v E
x
evx
y
evy
z
evz
电位差（电压）
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电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。
电位差的计算：
l
evl
2）对于真空中点电荷，有
gEv(rv)
0
或
gEv(rv)
q
0
真空中静电场的高斯定理
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将高斯定理微分形式对一定体积V积分，则得：
Ñ gEv(rv)dV V
V
(rv)
dV
0
Ev(rv)gdSv 1 (rv)dV Q
S
0 V
0
ÑS Ev(rv)gdSv
Q
0
静电场中的高斯定理
式中：S为高斯面，是一闭合曲面，
Q为高斯面所围的电荷总量。
对高斯定理的讨论
物理意义：静电场
v E
穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围
电荷量有关。
静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场
无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零
二、真空中静电场的旋度 环路定律
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v v
E dl
q
evr
v dl
l
40 l R2
s gS 0
nv
E s 2 0
v E
s2s20ev0zevz
(z 0) (z 0)
S
z
nv
y
x
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例 求无限长线电荷在真空中产生的电场。
分析：电场方向垂直圆柱面。
电场大小只与r有关。
解：取如图所示高斯面。
由高斯定律，有
Ñ Ev(rv)gdSv Q
EvS(rv)g(2 rl evr)0
电位参考点
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显然，电位函数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表
示同一个电场，即
v
设 C E C
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，
且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，
所以该点的电位也就具有确定值，即
选参考点
令参考点电位为零
高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。
中国矿业大学 例 求电荷密度为 S 的无限大面电荷在空间中产生的电场
分析：电场方向垂直表面。在平行电 v
荷面的面上大小相等。
E
nv
解：取如图所示高斯面。
Ñ由高斯定律，有
Ev(rv)gdSv Q
v E
S
v E1
(rv)gevz
S
Ev2(0rv)g(evz )S
B
RB q
l
q RB dR q 1 1
当A点和B点4重合0 R时A R：2
4 0
RA
RB
RA A
vv
Ñ Egdl 0
静电场环路定律积分形式
C
斯托克斯公式
Ev(rv) 0
对环路定理的讨论
物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周， 静电力做功为零——静电场为保守场。
静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成 闭合回路
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第三章 静电场分析
r 静电场：恒定不变的电场，即：E 0
t
以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定 电场的特性和求解方法。
主要内容： 静电场的基本方程（真空中和媒质中） 静电场的辅助函数——电位函数 静电场的边界条件 恒定电场分析 静电场的能量方程
3.1 真空中静电场的基本方程 中国矿业大学