江苏省2020届高考数学模拟试题（一）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束
后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
参考公式：
样本数据12,,,n x x x …的方差()22
11n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
．) 1．已知i 为虚数单位，复数11i
z =+，则z ＝_______． 2．已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x =>，则A B =______.
3．函数(
)f x =________．
4．若一组数据7，x ，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是______.
5．某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.
6．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______.
7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
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x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为________.
8．等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______.
9．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1.点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为______.
10．已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4
π，π)，则sin 2α＝_______． 11．已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．
12．如图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为________.
13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点0,1的距离为2，
则实数a 的取值范围是______.
14．设函数()3
f x x ax b =--，[]1,1x ∈-，其中a 、b ∈R .若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时b a +的值为______.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，cos B =. （1）若3A π
=，求sin C 的值；
（2）若b =
c 的值.
16．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．
（1）证明：AP ∥平面EBD ；
（2）证明：BE ⊥PC ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆A ：2221x y 上.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知132
AM AN =-
，求直线1F M 的斜率.
18．如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 体积为V .
（1）将V 表示成r 的函数；
（2）求V 的最大值.
19．已知函数()()
2ln f x x a x x =+-（a R ∈） （1）当0a =，证明()1f x x <-；
（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且()()12f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围.
（3）当0a <时，求函数()f x 的零点个数.
20．已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列.
（1）求实数k 的值；
（2）设4,,1,,n n
n n b a n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项.
数学Ⅱ（附加题）
（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）
注意事项：
1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修4-2：矩阵与变换]
已知点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到点()4,6. （1）写出矩阵A 的逆矩阵；
（2）求b a +的值.
B.[选修4-4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程
为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，θ∈R ）在曲线C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.
C.[选修4-5：不等式选讲]
已知正数x ，y ，z 满足t z y x =++（t 为常数），且22
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x y z ++的最小值为87，求实数t 的值. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ︒∠=，平面
11AA B B ⊥平面11BB C C .
（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值；
（2）求二面角1B AC C --的余弦值.
23.已知抛物线C :y x 42=（p 为大于2的质数）的焦点为F ，过点F 且斜率为k (k ≠0)的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点E ，抛物线C 在点A ，B 处的切线相交于点G .记四边形AEBG 的面积为S .
（1）求点G 的轨迹方程；
（2）当点G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请说明理由.。