绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)参考公式:n次独立重复试验恰有k次发生的概率为:()(1)k k n kn nP k C p p-=-一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,恰有一项....是符合题目要求的。
1.下列函数中,周期为2π的是(D)A.sin2xy=B.sin2y x=C.cos4xy=D.cos4y x=2.已知全集U Z=,2{1,0,1,2},{|}A B x x x=-==,则UA C B为(A)A.{1,2}-B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,2}3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为20x y-=,则它的离心率为(A)A B.2C D.24.已知两条直线,m n,两个平面,αβ,给出下面四个命题:(C)①//,m n m nαα⊥⇒⊥②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m nαα⇒④//,//,m n m nαβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A.①③B.②④C.①④D.②③5.函数()sin([,0])f x x x xπ=∈-的单调递增区间是(B)A.5[,]6ππ--B.5[,]66ππ--C.[,0]3π-D.[,0]6π-6.设函数()f x定义在实数集上,它的图像关于直线1x=对称,且当1x≥时,()31xf x=-,则有(B )A .132()()()323f f f <<B .231()()()323f f f <<C .213()()()332f f f <<D .321()()()233f f f <<7.若对于任意实数x ,有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-,则2a 的值为(B ) A .3 B .6 C .9 D .128.设2()lg()1f x a x=+-是奇函数,则使()0f x <的x 的取值范围是(A ) A .(1,0)- B .(0,1) C .(,0)-∞ D .(,0)(1,)-∞+∞9.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为(C ) A .3 B .52 C .2 D .3210.在平面直角坐标系xOy ,已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥,则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为(A )A .2B .1C .12D .14二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上........。
11.若13cos(),cos()55αβαβ+=-=,.则tan tan αβ= 1/2 .12.某校开设9门课程供学生选修,其中,,A B C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有 75 种不同选修方案。
(用数值作答)13.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -= 32 .14.正三棱锥P ABC -高为2,侧棱与底面所成角为45,则点A 到侧面PBC 的距离是15.在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ,顶点B 在椭圆192522=+y x 上,则sin sin sin A CB+= 5/4 .16.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间0t =时,点A 与钟面上标12的点B 重合,将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数,则d =t [0,60]t ∈。
三、解答题:本大题共5小题,共70分。
请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率;(4分) (2)5次预报中至少有2次准确的概率;(4分)(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率;(4分)解:(1)2325441611100.055525125p C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)415441110.00640.9955P C ⎛⎫=-⨯-=-≈ ⎪⎝⎭(3)31444410.02555P C ⎛⎫=⨯-⨯≈ ⎪⎝⎭18.(本小题满分12分)如图,已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体,点E 在1AA 上,点F 在1CC 上,且11AE FC ==, (1)求证:1,,,E B F D 四点共面;(4分)(2)若点G 在BC 上,23BG =,点M 在1BB 上,GM BF ⊥,垂足为H ,求证:EM ⊥面11BCC B ;(4分) (3)用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小,求tan θ。
(4分) 解:(1)证明:在DD 1上取一点N 使得DN=1,连接CN ,EN ,显然四边形CFD 1N 是平行四边形,所以D 1F//CN ,同理四边形DNEA 是平行四边形,所以EN//AD ,且EN=AD ,又BC//AD ,且AD=BC ,所以EN//BC ,EN=BC ,所以四边形CNEB 是平行四边形,所以 CN//BE ,所以D 1F//BE ,所以1,,,E B F D 四点共面。
(2)因为GM BF ⊥所以BCF ∆∽∆MBG ,所以MB BG BC CF =,即2332MB =,所以MB=1,因为AE=1,所以四边形ABME 是矩形,所以EM ⊥BB 1又平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1 ,且EM 在平面ABB 1A 1内,所以EM ⊥面11BCC B(3)EM ⊥面11BCC B ,所以EM ⊥BF ,EM ⊥MH ,GM BF ⊥,所以∠MHE 就是截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角的平面角,∠EMH=90︒,所以tan MEMH θ=,ME=AB=3,BCF ∆∽∆MHB ,所以3:MH=BF :1,=,所以,所以tan ME MH θ=19、(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线,与抛物线2y x =相交于AB 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q , (1)若2OA OB ⋅=,求c 的值;(5分)(2)若P 为线段AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线;(5分) (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。
(4分)1D1AABCD1C 1BMEFHG解:(1)设过C 点的直线为y kx c =+,所以()20x kx c c =+>,即20x kx c --=,设A ()()1122,,,x yB x y ,OA =()11,x y ,()22,OB x y =,因为2OA OB ⋅=,所以12122x x y y +=,即()()12122x x kx c kx c +++=,()221212122x x k x x kc x x c +-++=所以222c k c kc k c --++=,即220,c c --=所以()21c c ==-舍去(2)设过Q 的切线为()111y y k x x -=-,/2y x =,所以112k x =,即2211111222y x x x y x x x =-+=-,它与y c =-的交点为M 11,22x cc x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为12x x c =-,所以21c x x -=,所以M 12,,222x x k c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以点M 和点Q 重合,也就是QA 为此抛物线的切线。
(3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为PQ ⊥x 轴,所以,2P k P y ⎛⎫⎪⎝⎭因为1222x x k+=,所以P 为AB 的中点。
20.(本小题满分16分)已知 {}n a 是等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列,11221,a b a b a ==≠,记n S 为数列{}n b 的前n 项和,(1)若(,k m b a m k =是大于2的正整数),求证:11(1)k S m a -=-;(4分)(2)若3(i b a i =是某一正整数),求证:q 是整数,且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项;(8分)(3)是否存在这样的正数q ,使等比数列{}n b 中有三项成等差数列?若存在,写出一个q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4分)解:设{}n a 的公差为d ,由11221,a b a b a ==≠,知0,1d q ≠≠,()11d a q =-(10a ≠)(1)因为k m b a =,所以()()111111k a q a m a q -=+--,()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-,所以()()()()1111111111k k a q a m m q S m a q q ------===--(2)()()23111,11i b a q a a i a q ==+--,由3i b a =,所以()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-=解得,1q =或2q i =-,但1q ≠,所以2q i =-,因为i 是正整数,所以2i -是整数,即q 是整数,设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈,设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--现在只要证明存在正整数m ,使得n m b a =,即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可,()()11221111,111n n n q q m q m q q q q ----=+---==+++-,所以 222n m q q q -=+++,若1i =,则1q =-,那么2111,222n n b b a b b a -====,当3i ≥时,因为1122,a b a b ==,只要考虑3n ≥的情况,因为3i b a =,所以3i ≥,因此q 是正整数,所以m 是正整数,因此数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等,从而结论成立。