2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象 有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别 为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆 4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；（第3题）100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第6题）（第12题）(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河 岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上 并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？（第16题）P D CE F B A19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+=（2）=12=，=2==+=+（）=16. （1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点 ∴DE ∥PA 又∵DE⊂平面PAC ，PA ⊄平面PAC∴直线PA ∥平面DEF（2）∵E,F 分别为棱AC,AB 的中点，且 BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF ²=EF ²+DE ²=25，∴DE ⊥EF ，又∵DE ∥PA ，∴PA ⊥EF ，又∵PA ⊥AC ，又∵AC ⋂ EF=E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，∴PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17.（1）∵BF 2 =，将点C （，）代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，∴221611(0)99a b a b +=>>，且c ²+b ²=a ²∴a= ，b=1, ∴椭圆方程为2212x y += （2）直线BA 方程为y=x+b,与椭圆22221(0)x ya b ab+=>>联立得x ²x=0. ∴点A （，），∴点C （，），F 1（）直线CF 1 斜率k= ，又∵F 1C ⊥AB ，∴·=∴=1，∴e=18. （1）过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AD ⊥BE 于点F 。
∵tan ∠BCO=，设BC=5x ， CE=3x ，BE=4x ，∴OE=，AF=170，，EF=AO=60 ，BF=4x 60又∵AB ⊥BC ，且∠BAF+∠ABF=90°，∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°， ∴tan ∠BAF= ==，∴x=30 ，BC=5x=150m ∴新桥BC 的长为150m 。
（2）以OC 方向为x 轴，OA 为y 轴建立直角坐标系。
设点M （0，m ），点A （0,60），B （80,120），C （170,0）直线BC 方程为y=（x），即4x+3y∴半径R= ，又因为古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，∴RAM80 且R80 ，∴80 ，80，∴35 ，∴R=此时圆面积最大。
∴当OM=10时圆形保护区面积最大。
19. （1）∵x()f x -=+=()f x ，∴()f x 是R 上的偶函数（2）∵()f x +2=21 ，∴()f x ，∴m（()f x ）1，∴m= ， 令()g x = ，()g x '=，∴x时()g x '()g x 单调减，x时()g x '()g x 单调增，∴()g x min =(ln 2)g =，若关于x 的不等式m ()f x +m 1在（0，+）上恒成立，则只要m()g x min 恒成立 ，∴m。
∴m（]。
（3）由题正数a 满足:存在x 0[1，+），使得0(x )f （x 0 3 +3x 0）成立。
即+（x 0 3 +3x 0）令()h x =+（x 3 +3x ），即()h x min0。
()h x '=-= +3a ，当x [1，+）时，()h x '0 ，()h x min =(1)h =e+ -2a0 ，∴a+。
要比较与的大小，两边同时取以e 为底的对数。
只要比较a-1与（e-1）lna 的大小。
令y = a-1-( e-1）lna ，y '= 1- ，∵a ++ e-1，∴a （ + ）时y 'y 单调减，a（）时y 'y 单调增，又∵ +，当a=1时，y=0，∴当a= + 时，y 0，当a=e 时，y=0。
∴a=e-1时，y 0。
∴当+时，y 0，此时a-1（e-1）lna ，即。
当a=e 时y 0，此时a-1（e-1）lna ，即。
当a e 时y 0，此时a-1（e-1）lna ，即。
20. （1）证明：∵=，∴==（n ），又==2= ，∴（n）。
∴存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d ，若{}是“H 数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。
=1+（m-1）d 成立。
化简得m= +1+，且d 0 ，又m ， ，d ，且为整数。
（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则n +=+（-1）， =++1，∴= （）同理=（）取==k由题==+（-1）++（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1））可得{}为等差数列。
即可构造出两个等差数列{}和{}同时也是“H 数列”满足条件。