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平均值不等式及其证明

平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明
中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了
部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，
其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章
节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，
这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
1.1 平均值不等式

一般地，假设12,,...,naaa为n个非负实数，它们的算术平均值记为

12...,n
n

aaaAn


几何平均值记为
1
1212(...)...nnnnn
Gaaaaaa
。

算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
1212......n
n

n

aaaaaan

，

即 nnAG，
当且仅当12...naaa时，等号成立。
上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵
活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其
中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。
1.2 平均值不等式的证明
证法一（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对

0,1,2,...,,iaik
有

1
1212...(...)k
k

n

aaaaaak

。

那么，当1nk时，由于
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1211...1kkaaaAk






，11121...kkkkGaaaa，

关于121,,...,kaaa是对称的，任意对调ia与ja()ij，1kA和1kG的值
不改变，因此不妨设1121min,,...,kaaaa，1121max,,...,kkaaaa
显然111kkaAa，以及1111()()0kkkaAaA可得
111111()kkkkAaaAaa

.

所以 11112111(1)...kkkkkkkAkAAaaaAAkkk
21112111...()...()kkkkkkkaaaaAaaaaAk





即12111...()kkkkkAaaaaA 两边乘以1kA，得
111211112111...()...()kkkkkkkkkkAaaAaaAaaaaG



。

从而，有11kkAG

证法二（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对

0,1,2,...,,iaik
有

1212......kkk
aaakaaa
。

那么，当1nk时，由于
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121...kkaaaa

121111...(...)(1)kkkkkaaaaGGkG

112111...(1)kkkkkkkkaaakaGkG



1121112...(1)kkkkkkkkaaaaGkG



1121112(1)kkkkkkkGGkG



1(1)kkG


从而，有11kkAG
证法三（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对

0,1,2,...,,iaik
有

1212......kkk
aaakaaa
。

那么，当1nk时，由于
121...kkaaaa


证法四（归纳法和变换）
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证法五（利用排序不等式）
设两个实数组12,,...,naaa和12,,...,nbbb满足

1212...;...nn
aaabbb
，

则 1122...nnababab（同序乘积之和）

1122...jjnjn
ababab

（乱序乘积之和）


1211...nnnababab


（反序乘积之和）

其中12,,...,njjj是1,2,...,n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条
件是12...naaa或12...nbbb成立。
证明：

切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）
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杨森不等式（Young）设12120,0,1则对12,0xx有
12
121122

xxxx
等号成立的充分必要条件是12xx。

琴生不等式（Jensen）
设(),(,)yfxxab为上凸（或下凹）函数，则对任意(,)ixab

(1,2,...,)in
，我们都有

11221122()()...()(...)nnnn
fxfxfxfxxx
或

11221122()()...()(...)nnnn
fxfxfxfxxx

其中 10(1,2,...,)1niiiin
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习题一
1. 设11,,1abRab。求证：对一切正整数n，有

21()22nnnnnabab


2. 设,,,abcR求证：

3
(1)(1)(1)2(1)abcabcbcaabc
3. 设123,,xxx为正实数，证明：
222
33
2112

123231
()()()xxxxxxxxxxxx

4. 设,,,abcR1abc，求证：
(1)(1)(1)8(1)(1)(1)abcabc
5. 设,,xyzR，且xyz，求证：
222
222
xyyzzx

xyzzxy

6. 设,,abcR，满足2221abc，求证： 3abbccacab
7. 设,,,abcd是非负实数，满足1abbccdda，求证：
3333
13abcd

bcdcdadababc

8. 设n为给定的自然数，3n，对于n个给定的实数12,,...,;naaa
记(1)ijaaijn的最小值为m，求在22212...1naaa的
条件下，m的最大值。