（4）连接AC，BC，CA，则
ab OC 2
CD ab
当a≠b时，OC>CD，即 当a=b时，OC=CD，即
ab ab 2
A
ab ab 2 C
a+b 2 ab
aO
D
b
B
b a 例1．已知ab>0，求证： ≥ 2 ，并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明：因为ab>0，所以 0, 0 ，根据均 a b 值不等式得 b a b a b a ≥2 2 即 a b ≥ 2 a b a b
5、若x, y, m, n满足m n a, x y b,
2 2 2 2
a b, 则mx ny的最大值 ab A. 2 a b C. 2
2 2
。
B
B. ab 2ab D. ab
6、已知x, y, z , 均为正数，求证： 1 1 1 若x y z 1, 则 9 x y z
课堂小结：
1.直接用均值不等式可证明简单的不等式。 2.多次运用均值不等式相加或相乘去证明不等 式时必须要保证等号同时成立。
3.灵活运用均值不等式去证明一些复杂的不等式。
a b 3 a a b b c c
已知x, y, z, 均为正数，求证： x y z x yz y z x
2 2 2
已知x, y, z , 均为正数，求证： 1 1 1 1 1 1 2 y 2z 2x x y z y x z
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．定理适用范围： 2．取“=”的条件：
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成立的条 件是a=b.
b a 当且仅当 时，即a2=b2时式中等号成立， a b
例2. 1)已知:a,b,c均为正数,求证:
bc a c a b a bc 3 a b c
2)已知:正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
(1 a)(1 b)(1 c) 8abc
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
称为基本不等式
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
ab 图的方法，作出长度为 和 2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下： （1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
1 1 3)a>0,b>0且a+b=1,求证: 4 a b
例2. 1)已知:a,b,c均为正数,求证: 证明:
bc a c a b a bc 3 a b c bc a c a b a bc b c c a
a
b c b a c a c b b a c a c b ( )( )( )3 2, 2, 2 a b a c b c a b a c b c b a c a c b ( )( )( )3 2 2 23 3 a b a c b c 当且仅当a=b=c时,取等号. 所以,原不等式成立
a, b R
ab
均值定理： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
2、已知a 2, 求证 : loga (a 1) log a (a 1) 1
3、若a, b, c 0, 且a b c 1, 1 1 则 的最小值为 4 。 ab c
4、已知a b 1, x y 2,
2 2 2 2
求ax by的取值范围是 [ 2, 2] 。
例3、已知a 0, b 0, 且a b 1, 求证 1 1 1 25 (1)ab (2)(a )(b ) 4 a b 4
1 1 (3) a b 2 2 2
练
习
1、已知a、b、c、d都是正数，求证：
ab cd ac bd 4abcd