2017届高二数学导学案编写 审核 审批课题:立体几何中的向量方法—证明平行和垂直第 周第 课时 班 组 组评 姓名 师评【使用说明】 1、依据学习目标。
课前认真预习,完成自主学习内容;2、课上思考,积极讨论,大胆展示,充分发挥小组合作优势,解决疑难问题;3、当堂完成课堂检测题目;4、★的多少代表题目的难以程度。
★越多说明试题越难。
不同层次学生选择相应题目完成【学习目标】1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘;2.了解空间向量的基本定理;3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
【教学重点】理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法【教学难点】 理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法【学习方法】学案导学法,合作探究法。
【自主学习·梳理基础】1、 考点深度剖析利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点,内容以解答题为主,主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题,以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向. 2.【课本回眸】1.直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量:l 是空间一直线,A ,B 是直线l 上任意两点,则称AB →为直线l 的方向向量,与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.②平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a =0,n·b =0.2.用向量证明空间中的平行关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.②设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ,y ,使v =xv 1+yv 2.③设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ?α?v ⊥u .④设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2=0. ②设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2=0. 4.共线与垂直的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则a ∥b ?a =λb ?a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R),a ⊥b ?a·b =0?a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0(a ,b 均为非零向量).【课堂合作探究】探究一:如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点,点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动,且()20<<==λλBQ DP .当1=λ时,证明:直线//1BC 平面EFPQ .探究二:如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点.证明: (1)AE ⊥CD ; (2)PD ⊥平面ABE .探究三:在边长是2的正方体ABCD-1111A B C D中,,E F分别为1,AB A C的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长(2)证明://EF平面11AA D D;(3)证明: EF⊥平面1A CD.【当堂测试】1.【人教A版选修2-1P101练习2改编】已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为⎝⎛⎭⎪⎫1,12,2,则m=________.2.【改编自大纲卷】如图,三棱柱111ABC A B C-中,点1A在平面ABC内的射影D在AC上,90ACB∠=,11,2BC AC CC===.(I)证明:11AC A B⊥;DB1CC1A1AB【课后巩固】1.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.2. 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,(1) 试证:A1、G、C三点共线;(2) 试证:A1C⊥平面BC1D;3.【改编自高考题】如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱A1A=2.(1)证明:AC⊥A1B;(2)是否在棱A1A上存在一点P,使得1AP PAλ=且面AB1C1⊥面PB1C1.本节课我学会了掌握了那些还有哪些疑问2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批课题:利用向量方法求空间角第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评【使用说明】 1、依据学习目标。
课前认真预习,完成自主学习内容;2、课上思考,积极讨论,大胆展示,充分发挥小组合作优势,解决疑难问题;3、当堂完成课堂检测题目;4、★的多少代表题目的难以程度。
★越多说明试题越难。
不同层次学生选择相应题目完成【学习目标】1.掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想,熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角. 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】 灵活地运用各种方法求空间角 【自主学习·梳理基础】1.两条异面直线的夹角(1)定义:设a ,b 是两条异面直线,在直线a 上任取一点作直线a ′∥b ,则a ′与a 的夹角叫做a 与b 的夹角.(2)范围:两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________. (3)向量求法:设直线a ,b 的方向向量为a ,b ,其夹角为φ,则有cos θ=________=______________.2.直线与平面的夹角(1)定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.(2)范围:直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________. (3)向量求法:设直线l 的方向向量为a ,平面的法向量为u ,直线与平面所成的角为θ,a 与u 的夹角为φ,则有sin θ=__________或cos θ=sin φ.3.二面角(1)二面角的取值范围是____________. (2)二面角的向量求法:①若AB 、CD 分别是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角(如图①).②设n 1,n 2分别是二面角α—l —β的两个面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③).【课堂合作探究】探究一:利用向量法求异面直线所成的角1.已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1,∠ACB =90°,CA =CB =CC 1,D 为B 1C 1的中点,求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值.2. 如图所示,在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求异面直线BA 1和AC 所成的角.探究二:利用向量法求直线与平面所成的角如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M ,N 分别为AB ,DF 的中点.若平面ABCD ⊥平面DCEF ,求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值.探究三:利用向量法求二面角1.如图,ABCD 是直角梯形,∠BAD =90°,SA ⊥平面ABCD ,SA =BC =BA =1,AD =12,求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小.2如图,在三棱锥S —ABC 中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,∠BAC =90°,O 为BC 中点.(1)证明:SO ⊥平面ABC ;(2)求二面角A —SC —B 的余弦值.探究四 向量法的综合应用如图所示,在三棱锥A —BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD =3,BD =CD =1,另一个侧面ABC 是正三角形.(1)求证:AD ⊥BC ;(2)求二面角B -AC -D 的余弦值;(3)在线段AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30°角若存在,确定点E 的位置;若不存在,说明理由.【当堂测试】1.(2011·成都月考)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,则sin 〈DB 1→,CM →〉的值等于( )2.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =1,E 为CC 1的中点,则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )3.已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )4.【课后巩固】1.如图所示,AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD =是⊙O 的直径,AB =AC =6,OE ∥AD .(1)求二面角B -AD -F 的大小;(2)求直线BD 与EF 所成的角的余弦值.2.(2011·大纲全国)如图,四棱锥S -ABCD 中,AB ∥CD ,BC ⊥CD ,侧面SAB 为等边三角形,AB =BC =2,CD =SD =1.(1)证明:SD ⊥平面SAB ;(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.3.(2011·湖北)如图,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1各棱长都是4,E 是BC 的中点,动点F 在侧棱CC 1上,且不与点C 重合.(1)当CF =1时,求证:EF ⊥A 1C ;(2)设二面角C -AF -E 的大小为θ,求tan θ的最小值.本节课我学会了 掌握了那些 还有哪些疑问。