立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪
⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0.
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.
(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.
(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .
(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.
(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .
(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )
(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )
(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )
(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )
1．下列各组向量中不平行的是( )
A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)
B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)
C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)
D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)
2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )
A ．P (2,3,3)
B ．P (－2,0,1)
C ．P (－4,4,0)
D ．P (3，－3,4)
3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．
4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58
)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.
题型一 证明平行问题
例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，
AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且
AQ ＝3QC .
证明：PQ ∥平面BCD .
如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，
A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，B
B 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
题型二证明垂直问题
例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB ＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
题型三解决探索性问题
例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；
(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
利用向量法解决立体几何问题
典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD 的体积．
A 组 专项基础训练
1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交
2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．在平面
D ．平行或在平面
3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )
A ．(2,4，－1)
B ．(2,3,1)
C ．(－3,1,5)
D ．(5,13，－3)
4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )
A.627
B.637
C.607
D.657
5．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为
C 1
D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )
A ．60°
B ．45°
C ．90°
D ．以上都不正确
6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定
的平面上，则a ＝________.
8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，
A 1M ＝AN ＝2a 3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12
PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .
10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.
(1)求证：EF ∥平面PAB ；
(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .
B 组 专项能力提升
11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，
M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )
A ．(1,1,1)
B ．(
23，23，1) C ．(22，22
，1) D ．(
24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于
( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为
底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD
一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________
个．
14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，
∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：
(1)DE ∥平面ABC ；
(2)B 1F ⊥平面AEF .
15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。