选修之6导数及其应用
一、变化率与导数
1.变化率
式子21
21
()()
f x f x
x x
-
-
叫做函数f (x)从x1到x2的平均变化率.记Δx =x2－x1，Δy=f(x2)－
f (x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.
2.导数定义
函数y= f (x)在x=x0处的瞬时变化率
lim.
x
y
x
∆→
∆
∆
称为函数y= f (x)在x = x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|x = x0，即
00
(+)()
'()lim.
x
f x x f x
f x
x
∆→
∆-
=
∆
（3）(sin x)′=cos x
（4）(cos x)′=－sin x
（5）(ax)′=ax ln a
（6）(ex)′=ex
（7）
1
(log)'
ln
a
x
x a
=
（8）
1
(ln)'
x
x
=
2.求导法则
（1）[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
（2）[f(x)·g(x) ]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
（3）f(x)g(x)′=f′(x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x) ]2
（4）[Cf(x) ]′=Cf′(x)（C为常数）
3.复合函数的导数（理科）
（1）复合函数：对于两个函数y = f (u )和u = g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝ f (u )和u = g (x )的复合函数，记作y = f (g (x ))．
（2）复合函数求导法则：
'''x u x y y u =⋅
即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
三、导数的应用
1.单调性与导数
（1）在某个区间(a , b )内，如果f ′(x )≥0，且f ′(x )=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y =f (x )在(a , b )内单调递增；如果f ′(x )≤0，且f ′(x )=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y =f (x )在(a , b )内单调递减.
（2）用导数单调区间：①求f ′(x )；②解不等式f ′(x )≥0，可得f (x )的单调递增区间，解不等式f ′(x )≤0，可得f (x )的单调递减区间（注意定义域）.
注意：上述定理的逆命题不成立.
（3）求函数的极值的方法
求函数y = f (x )在区间[a , b ]上的最值的步骤如下：
①解方程f ′(x )=0；
②当f ′(x 0)=0时，如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．
（4）求函数的最值的方法
①求函数y = f (x )在(a , b )内的极值；
②将函数y = f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
四、定积分（理科）
1.定积分的概念
函数f (x )在区间[a , b ]上连续，用分点
a =x 0<x 1＜…<x i －1<x i ＜…<x n =b
将区间[a , b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1 , x i ]上任取一点ξi (i =1，2，…，n )，作和式
1
1()(),n n i i i i b
a f x f n ξξ==-∆=∑∑ 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,
b ]上的定积
分，记作()d b a f x x ⎰，即 1()d lim (),n
b i n a i b a f x x f n ξ→∞=-=∑⎰ 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a , b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．
由y = f (x )，x =a ，x =b 和x 轴围成的曲边梯形的面积为
()d .b
a S f x x =⎰ 注：对于稍复杂些的图形的面积，可通过向x 轴作垂线，转化为求几个曲边梯形的面积的和或差.
（2）求变速直线运动的路程
位移：()d b a
s v t t =⎰ 路程：()d b
a s v t t =⎰，其中v (t )表示速率. （3）变力作功
()d b
a W F x x =⎰，其中F (x )表示变力.。