初中平面几何训练题（较难）
中考平面几何训练题较难
1.在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC,25，BD=20，BE,7，求AK的长。
B。
所作割线交圆于C、D两点，2过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、
C在PD之间，要统CD上取一点Q，使?DAQ=?PBC，求证:?DBQ=?PAC(
3.如图，在,ABC中，，A,60:，AB,AC，点O是外心。
两条高BE、CF交于H 点，点M、
MH，NH N分别在线段BH、HF上，且满足BM,CN，求的值。
OH
4.如图，,ABC中，O为外心，三条高AD、BE、
CF交于点H，直线ED和AB交于点M，
FD和AC交于点N。
求证:(1)OB,DF,OC,DE;(2)OH,MN;
5.如图,在锐角,ABC的BC边上有两点E、F，满足，BAE,，CAF，作
FM,AB,FN,AC (M、N是垂足)，延长AE交,ABC的外接圆于D点，证明四边形AMDN 与,ABC的面积相等;
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分，BAD，在CD上取一点E，BE与AC 相交于F，延长DF交BC于G，求证:，GAC,，EAC
如图，已知两个半径不相等的圆O和圆O相交于M、N两点，且圆O、圆O分别
与圆O7.1212 内切于S、T两点，求证:OM,MN的充分必要条件是S、N、T三点共线;
参考答案
1.
2.
证:如图:连结AB，在,ADQ与,ABC中，，ADQ,，ABC,，DAQ,，PBC,，CAB ？,ADQ,,ABC
BCDQ 从而有,,BC,AD,AB,DQABAD
又由切割线关系可知:,PCA,,PAD
PCAC？,PAAD
PCBC同理:由,PCB,,PBD得:,PBBD
又？PA,PB
ACBC？,,AC,BD,BC,AD,AB,DQADBD
又？关于圆内接四边形ABCD的托勒密定理有:AC,BD，BC,AD,AB,CD
1于是:AB,CD,2AB,DQ,DQ,CD,CQ,DQ 2
ADDQCQ在,CBQ与,ABD中:,,,，BCQ,，BADABBCBC？,CBQ,,ABD
？，CBQ,，ABD
？，DBQ,，ABC,，PAC
3.
解:如图在BE上取BK,CH，连结OB、OC、OK由三角形的外心的性质可知:，BOC,2,，A,120:由三角形的垂心的性质可知:，BHC,180:,，A,120:
？，BOC,，BHC
？B、C、H、O四点共圆。
？，OBH,，OCH
又？OB,OC,BK,CH
？,BOK,,COH
？，BOK,，COH,OK,OH
？，KOH,，BOC,120:,，OKH,，OHK,30: KHOH观察,OKH有:,sin120:sin30:
则KH,3,OH
又？BM,CN,BK,CH
？KM,NH
？MH，NH,MH，KM,KH,3,OHMH，NH 故,3OH 4.
证:(1)？A、C、D、F四点共圆;
？，BDF,，BAC
1又？，OBC,(180:,，BOC),90:,，BAC2 ？OB,DF
OC,DE同理
CF,MA(2)？
2222？MC,MH,AC,AH？
BE,NA？
2222？NB,NH,AB,AH？
DA,BC？
2222？BD,CD,BA,AC？
OB,DF？
2222？BN,BD,ON,OD？
OC,DE？
2222？CM,CD,OM,OD？,，，,由,得:
2222NH,MH,ON,OM
2222MO,MH,NO,NH？OH,MN 5(
证明:如图，连结MN、BD
？FM,AB，FN,AC
？A、M、F、N四点共圆
？，AMN,，AFN
？，AMN，，BAE,，AFN，，CAF,90:即:MN,AD
1？S,AD,MNAMDN2
？，CAF,，DAB,，ACF,，ADB
AFAC？,AFC,,ABD,,,AB,AC,AD,AFABAD又？AF是过A、M、F、N四点的圆的直径
MN？,AF,AFsin，ABC,MNsin，BAC
1？S,AB,AC,，BACsin,ABC2
1,AD,AF,，BACsin2
1,AD,MN 2
,SAMDN
？S,S,ABCAMDN
6(
证明:如图，连结交于，对用塞瓦定理，有:BDACH,BCDCGBHDE1,,,GBHDBC
因为是的平分线，由角平分线定理，可得AH，BAD BHAB,HDAD
CGABDE故:1,,,GBADEC
过点作的平行线交的延长线于，过点作CABAGICAD 的平行线交的延长线于AEJ
CGCIDEAD则:,,,GBABECCJ
CIABAD1？,,,ABADCJ
从而:CI,CJ
又？//,//CIABCJAD
,,？，ACI,,，BAC,,，DAC,，ACJ？,ACI,,ACJ ？，IAC,，JAC ？，GAC,，EAC
7(
证明:如图，设圆O，圆O，圆O的半径分别为r、r、r，1212由条件可知O、O、S三点共线，O、O、T三点共线，12 且OS,OT,r,连结OS、OT、SN、NT、ON、OM、12ON,OO212
充分性设S、N、T三点共线，则，S,，T，()
又？,OSN与,ONT均为等腰三角形，12
？，S,，ONS，T,，ONT,12？，S,，ONT，T,，ONS,21？ONOSONOT//,//21 ？四边形OONO为平行四边形12
？OO,ON,r,MOOO,ON,r,MO,12222111
？,OMO,,OOM12
？S,S,OMO,OOM12
？OOOM//12
又？OO,MN12
？OM,MN
必要性若OM,MNOO,MN有OOOM(),,//1212
？S,S,OMO,OOM12
设OM,a
由于OM,rOO,r,rOO,r,rOM,r,,,11112222
可知,OMO与,OOM的周长都等于a，r,12
a，r记p,由三角形面积的海伦公式，有:,2 S,pp,rp,r，rp,a()()()11,OMO1 ,pp,rp,r，rp,a,S()()()22,OMO2
化简可得:r,rr,r,r,()()01212又已知r,r，？有r,r，r1212故
OO,r,r,r,ON,1122
OO,r,r,r,ON,2211
？OONO为平行四边形12
，ONS，，S,180:,，ONT，，T 21又？,OSN与,ONT均为等腰三角形12
？，T,，ONT,，S,，ONS21？，ONO，2，S,，ONS，，S122
,，ONT，，T1
,，ONO，2，T12？，S,，T
？，ONS,，ONT 12
？，ONS，，ONO，，ONT1122
,，SNO，，S,180:2
？S、N、T三点共线
答案:。